Zadanie 1. (0-5) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość . Ściany boczne są
trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa . Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.
Wykonajmy szkic sytuacyjny na modelu ostrosłupa . Należy pamiętać, że kąt pomiędzy przecinającymi się płaszczyznami zaznacza się na przekroju płaszczyzną prostopadłą do wspólnej krawędzi tych płaszczyzn. W naszym przypadku niech będzie odpowiednim punktem na krawędzi tak, aby płaszczyzna była do tej krawędzi prostopadła. Wtedy . Niech też będzie wysokością tego ostrosłupa, gdzie jest punktem z trójkąta równobocznego .
Oznaczmy przez długość odcinka , jest to jednocześnie wysokość ściany bocznej . Rozważmy trójkąt podzielony wysokością opuszczoną na bok .
Mamy wtedy
Niech będzie długością krawędzi bocznych naszego ostrosłupa, zaś niech będzie długością wysokości tych ścian, opuszczonych z wierzchołka .
Z twierdzenia Pitagorasa mamy
zaś z równości pól liczonych raz dla wysokości , a raz dla wysokości , dostajemy , czyli . Podstawiając obliczone wartości i , możemy napisać
Dostajemy stąd , czyli
Na koniec zauważmy, że podstawa wysokości ostrosłupa znajduje się w środku ciężkości trójkąta równobocznego . Stąd , czyli
Mamy więc odpowiedź
Warto jeszcze zaznaczyć, jakie warunki powinny spełniać podane wielkości, aby opisana w zadaniu sytuacja miała sens. Musi być oczywiście , a że , to , czyli .
Zadanie 2. (0-8) W trójkącie dane są: , , . Oblicz objętość i pole
powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta dookoła boku .
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2003.
Wykonajmy szkic sytuacyjny danych z zadania. Warto przy tym ustawić oś obrotu (czyli bok trójkąta) w pozycji pionowej, aby lepiej wyobrazić sobie powstałą po tej operacji bryłę.
Zauważmy, że w trójkącie kąt przy wierzchołku jest rozwarty. Można to potwierdzić np. twierdzeniem kosinusów ale zdecydowanie łatwiej zauważyć, że gdyby bok byłby nieco dłuższy i miałby długość 4, to wtedy kąt byłby prosty (dany trójkąt byłby połówką trójkąta równobocznego). Przez oznaczmy teraz punkt symetryczny do względem osi obrotu . Uzyskana bryła to stożek o przekroju osiowym z ,,wydrążonym” w podstawie współosiowym stożkiem o przekroju . Na podstawie tej obserwacji będziemy obliczać objętość tej bryły.
Długość odcinka to podwojona wysokość trójkąta równobocznego o boku długości 8, czyli . Stąd
Z kolei powierzchnia całkowita to jakby suma powierzchni bocznych wskazanych wyżej dwóch stożków. Tworząca pierwszego wynosi , zaś tworząca stożka drugiego ma długość , którą obliczymy z twierdzenia cosinusów:
stąd .
Mamy więc
Zadanie 3. (0-4) Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź
odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.
Zgodnie z poleceniem, wykonajmy rysunek. Rozważamy sześcian , niech będzie punktem wspólnym przekątnych i .
Oznaczmy przez długość krawędzi sześcianu. Wtedy oczywiście każda z jego przekątnych będzie miała długość . Nasz kąt możemy zaznaczyć na dodatkowym płaskim rysunku. Jest to kąt pomiędzy przekątnymi prostokąta , którego boki wynoszą oraz .
Niech będzie kątem ostrym pomiędzy wybranymi przekątnymi. Najłatwiej użyć jest twierdzenia cosinusów. Mamy
podstawiając znane długości poszczególnych odcinków, dostaniemy
. To kończy rozwiązanie.
Zadanie 4. (0-4) Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy i dwa razy krótszej wysokości przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem . Zaznacz ten kąt na rysunku oraz oblicz pole otrzymanego przekroju, wynik przedstaw w najprostszej postaci.
♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.
Sytuację przedstawia rysunek. Trzeba oczywiście sprawdzić, czy przy podanych wymiarach graniastosłupa opisany przekrój przecina obie podstawy bryły, czy też przecina jedną z krawędzi bocznych. Jeślj przyjmiemy oznaczenia wierzchołków graniastosłupa jak na rysunku poniżej i założymy, że interesujący nas przekrój zawiera przekątną podstawy, to gdyby przekrój ten przechodził przez wierzchołek , to kąt nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy wynosiłby i wówczas , gdzie jest środkiem kwadratowej podstawy . Stąd . Wynika stąd, że rozważany w zadaniu przekrój jest trapezem, którego podstawy zawierają się w podstawach graniastosłupa.
Niech będzie punktem przecięcia prostej z przedłużeniem krawędzi bocznej , przy czym jest środkiem podstawy trapezu będącego rozważanym przekrojem. Trójkąt prostokątny jest połówką trójkąta równobocznego i dodatkowo , zatem i . Trójkątem ,,ekierkowym” jest także trójkąt oraz , a stąd i tym samym
Mamy też , więc możemy już obliczyć pole naszego przekroju. Mamy
Zadanie 5. (0-7) Powierzchnia całkowita graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa . Wyznacz największą z możliwych objętość tego graniastosłupa, wynik zapisz w najprostszej postaci.
♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.
Niech będą odpowiednio długością podstawy i wysokością danego graniastosłupa. Sześciokąt foremny o boku długości składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku , stąd
Obliczając z tego równania długość otrzymamy
Wynika stąd w szczególności, że , czyli i stąd . Objętość graniastosłupa, jako funkcja zmiennej wyraża się wzorem
Mamy znaleźć maksimum funkcji dla podanego wyżej zakresu zmiennej . Pochodna wynosi
Wynika stąd, że dla pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc w punkcie tym funkcja osiąga maksimum.
Zadanie 1. (0-4) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.
Zauważmy, że kwadraty liczb 1, 2, 4 i 5 dają przy dzieleniu przez 3 reszty 1; natomiast liczby i dają reszty zerowe przy takim dzieleniu. Aby więc suma trzech takich kwadratów dawała wynik podzielny przez 3 (czyli resztę zero), albo wszystkie trzy liczby muszą same być podzielne przez 3 – czyli pochodzić ze zbioru , albo wszystkie trzy liczby muszą pochodzić ze zbioru .
Jeżeli przez oznaczymy odpowiednie zdarzenie, to zgodnie z powyższą uwagą, mamy
Dodatkowo przestrzeń wszystkich zdarzeń elementarnych ma elementów
Zatem mamy odpowiedź: .
Zadanie 2. (0-3) Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie
trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5.
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2013.
Cyfra zero nie może występować na pierwszej pozycji w zapisie danej liczby sześciocyfrowej, pozostałe 5 miejsc jest już dozwolonych. Mamy więc możliwości, aby umiejscowić cyfrę zero. Na pozostałych 3 miejscach (tym razem już łącznie z najbardziej znaczącą cyfrą – czyli cyfrą setek tysięcy danej liczby) musi wystąpić cyfra 5. Na to mamy niezależnych możliwości. Pozostałe dwa miejsca możemy uzupełnić dowolnymi cyframi różnymi i od piątki i od zera. To daje kolejnych możliwości (jest osiem dostępnych cyfr na dwa pozostałe miejsca). Ostatecznie otrzymujemy odpowiedź: takich liczb jest dokładnie:
Zadanie 3. (0-4) i są zdarzeniami losowymi i . Wykaż, że
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2002.
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego mamy Zauważmy, że zdarzenie jest zawarte w zdarzeniu , dlatego . Tym samym możemy napisać
z własności prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do . To kończy dowód.
Zadanie 4. (0-4) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,
polegającego na tym, że ,,jedynka” wypadnie co najmniej cztery razy.
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.
Oznaczmy przez zdarzenie opisane w zadaniu (tj. przy pięciokrotnym rzucie sześcienną kostką do gry, uzyskamy jedno oczko co najmniej cztery razy), zaś przez tradycyjnie przestrzeń wszystkich możliwych wyników takiego doświadczenia losowego (pięciokrotnego rzutu kostką). Oczywiście wtedy , gdyż musimy uwzględnić każdy możliwy wynik przy jednym rzucie (a tych jest sześć) i ,,zwielokrotnić” go tyle razy ile rzutów wykonujemy (stąd wykładnik 5).
Dla obliczenia liczby zauważmy, że zajdzie gdy albo uzyskamy wyłącznie ,,jedynki” we wszystkich pięciu rzutach, albo w dokładnie jednym z kolejnych rzutów (pierwszym lub drugim itd… lub piątym) ,,jedynka” nie wypadnie. To daje nam równość
(drugi składnik powyższej sumy zawiera symbol Newtona, odpowiadający za to, w którym z kolei rzucie wypadnie wynik inny niż ,,jedynka”).
Ostatecznie mamy
Zadanie 5. (0-4) Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo
dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety jest równe . Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2008.
Załóżmy, że liczba kobiet w opisanej grupie wynosi , wtedy mężczyzn jest tam . Wszystkich możliwych wyborów delegacji dwuosobowej jest równa
Delegacji złożonych wyłącznie z kobiet można utworzyć
Stąd mamy równość
Stąd , czyli . Mamy więc odpowiedź: w opisanej grupie było 7 kobiet.
Zadanie 6. (0-4) Wśród losów loterii jest 6 losów wygrywających. Dla jakich prawdopodobieństwo tego, że zakupione dwa losy będą wygrywające, jest większe od ?
♦ matura – poziom podstawowy (Częstochowa), maj 1988.
Oczywiście jest liczbą naturalną i . Wszystkich możliwych wyborów dwóch losów spośród jest dokładnie . Możliwości, w których zakupione oba losy są zwycięskie mamy zaś . Stąd dostajemy nierówność
To prowadzi do nierówności , czyli . Obliczamy wyróżnik i stąd oraz , czyli . Uwzględniając założenia – otrzymujemy końcowe rozwiązanie: .
Zadanie 7. (0-4) W urnie umieszczono 4 kule białe i 8 kul czarnych. Losujemy jedną kulę. Jeżeli będzie biała, to wrzucamy ją z powrotem do urny i dorzucamy do niej jeszcze dwie białe kule. Jeżeli będzie czarna, to zatrzymujemy ją i dorzucamy dwie zielone kule do urny. Następnie losujemy z urny jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie z wylosowanych za drugim razem kul są białe.
♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.
Sytuację po pierwszym losowaniu wygodnie jest przedstawić za pomocą grafu.
Węzły drzewka zawierają opis zawartości urny w obu przypadkach. Wylosowanie za drugim razem dwóch kul białych wystąpi z prawdopodobieństwem
Zadanie 1. (0-4) Na bokach i równoległoboku zbudowano kwadraty i (zobacz
rysunek). Udowodnij, że .
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.
Zaznaczmy na rysunku interesujące nas odcinki i rozważmy taki dodatkowy punkt , aby czworokąt był równoległobokiem.
Wtedy ten nowy równoległobok jest przystający do wyjściowego równoległoboku . Odpowiednie przekątne też są jednakowe, a ponieważ , to przekątne i są właśnie jednakowej długości. To kończy dowód.
Zadanie 2. (0-4) Trapez równoramienny o podstawach i jest opisany na okręgu o promieniu . Wykaż, że .
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2013.
Wykonajmy stosowny rysunek. Zauważmy przy tym, że szkic wykorzystuje dodatkowe założenie, że . Należy mieć tego świadomość i w rozwiązaniu odpowiednio się do tego odnieść.
Z warunku opisywalności czworokąta na okręgu wiemy, że suma jego podstaw jest równa sumie długości ramion, czyli
bo trapez jest równoramienny. Stąd . Wykorzystajmy teraz twierdzenie pitagorasa dla trójkąta , gdzie punkt jest podstawą wysokości trapezu poprawodznej z wierzchołka . Wtedy, znów korzystając z równych długości ramion i symetrii całej figury, mamy . Uwaga. Gdyby przyjąć, że to podstawa jest dłuższa od podstawy , to odpowiedni odcinek miałby długość , jednak nie wpływa to na dalsze obliczenia (gdyż kwadrat obu wyrażeń jest taki sam).
Z twierdzenia Pitagorasa mamy teraz , czyli
co mieliśmy pokazać.
Zadanie 3. (0-4) Trapez równoramienny, o obwodzie równym cm, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość cm, oblicz pole tego trapezu.
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, maj 2003.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku; zakładamy (bez zmniejszenia ogólności rozważań), że . Rachunki będziemy przeprowadzać w centymetrach, co uwzględnimy formułując końcową odpowiedź.
Z warunku opisywalności czworokąta na okręgu i z tego, że trapez jest równoramienny wynika, że suma długości przeciwległych boków jest równa połowie obwodu: . Stąd oraz .
Napiszmy twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów i . Mamy
Wiemy też, że i . Podstawiając to do wcześniejszych równości i odejmując je stronami, uzyskamy
Mamy więc i . Rozwiązując ten układ równań dostaniemy i dalej , czyli , a stąd . To prowadzi nas do możliwych rozwiązań lub , jednak , czyli i .
Wówczas i stąd , czyli , więc . To już prowadzi do odpowiedzi: szukane pole trapezu wynosi cm.
Zadanie 4. (0-3) Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i , w którym kąt między środkową a wysokością wychodzącymi z wierzchołka kąta prostego ma miarę . Wykaż, że .
♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.
Rozważmy trójkąt prostokątny , w którym punkt jest środkiem przeciwprostokątnej , zaś jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka .
Oznaczmy , , oraz . Zauważmy, że porównując pole trójkąta mamy zależność , czyli . Dodatkowo . Stąd
Ponieważ , to mamy
(1)
To kończy dowód.
Zadanie 5. (0-2) W trójkącie ostrokątnym wiadomo,że , a . Oblicz .
♦ matura próbna ,,Nowa Era” – poziom rozszerzony, styczeń 2018.
Oznaczmy odpowiednie kąty trójkąta przez , i . Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych wskazanych kątów są wszystkie dodatnie. Stąd, jeżeli , to . Podobnie, skoro , to .
Mamy oczywiście , czyli
Podstawiając wyliczone wartości, otrzymujemy .
Zadanie 6. (0-3) W czworokącie dane są: , , . Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.
♦ matura próbna ,,Nowa Era” – poziom rozszerzony, styczeń 2018.
Dany czworokąt można wpisać okrąg (bo suma jego przeciwległych kątów wynosi ), przy czym przekątna jest średnicą tego okręgu.
Okrąg ten jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie , więc jego promień , z twierdzenia sinusów, spełnia równość
Zadanie 1. (0-6) Punkt jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego , w którym
. Pole tego trójkąta jest równe . Bok jest zawarty w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne wierzchołka .
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.
Jak niemal każde zadanie z geometrii najlepiej rozpocząć od wykonania w miarę dokładnego rysunku.
Ponieważ punkty i leżą na prostej , to możemy przyjąć, że i dla pewnych liczb oraz . Możemy obliczyć długość odcinka korzystając z informacji o polu naszego trójkąta. Istotnie, traktując bok jako podstawę, wysokość będzie odległością punktu od danej prostej . Ma ona wartość
Stąd , czyli .
Możemy teraz napisać
a stąd . To daje nam dwie możliwości: albo .
Pozostaje jeszcze sprawdzić, kiedy otrzymamy trójkąt równoramienny z równością . Mamy
stąd lub w wersji uproszczonej . Rozwiązując to równanie kwadratowe uzyskamy możliwe wartości . , lub . Mamy więc lub . Wtedy, zgodnie z wcześniejszymi obliczeniami lub albo odpowiednio lub . Są zatem cztery trójkąty , które spełniają warunki zadania ale tylko dwa możliwe położenia wierzchołka .
Zadanie 2. (0-5) Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji . Przeprowadzono prostą równoległą do osi , która przecięła wykres tej funkcji w punktach i . Niech . Wykaż, że pole trójkąta jest większe lub równe 2.
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.
Zaznaczmy punkt i poprowadźmy przykładową prostą o równaniu (równoległą od osi ). Aby pojawiły się punkty przecięcia z podanym wykresem, musi być . Wtedy współrzędne punktów i obliczymy rozwiązując równanie , czyli . Możemy więc przyjąć, że
Obliczmy teraz pole trójkąta traktując jako podstawę. Oczywiście , zaś odpowiednia wysokość w tym trójkącie jest odległością wierzchołka od poprowadzonej prostej, wynosi więc . Zatem
Aby pokazać, że otrzymana wartość jest zawsze większą lub równa 2, dla dowolnego , wystarczy zauważyć, że biorąc mamy
To kończy rozwiązanie.
Zadanie 3. (0-6) Zaznacz na płaszczyźnie zbiór
Napisz równania osi symetrii figury .
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2002.
Zaczniemy oczywiście od dziedziny. Musi być , czyli . Nierówność oznacza, że , zatem figura nie zawiera żadnego punktu z osi . Zajmijmy się teraz nierównością z logarytmem. Mamy
bo .
Opuszczamy logarytmy (pamiętając o zmianie znaku nierówności, bo podstawa logarytmu jest mniejsza od 1) i otrzymujemy , czyli , zatem . Uwzględniając dziedzinę mamy
Poniżej rysunek tej (nieograniczonej) figury.
Jedynymi osiami symetrii są oczywiście osie układu współrzędnych, czyli proste o równaniach oraz . Nie ma innych, choćby ze względu na punkty oraz , które jako jedyne punkty z prostych pionowych nie należą do figury .
Zadanie 4. (0-4) W układzie współrzędnych są dane punkty: oraz . Wyznacz współrzędne
punktu , leżącego na osi , tak że kąt jest kątem prostym.
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.
Wykonajmy rysunek. Rozwiązanie najłatwiej oprzeć na spostrzeżeniu, że dla znalezionego punktu trójkąt będzie prostokątny z przeciwprostokątną . Wtedy jednak bok będzie średnicą dla okręgu opisanego na tym trójkącie. To sugeruje jak znaleźć wierzchołek : jest to punkt wspólny osi i okręgu, dla którego odcinek jest średnicą.
Ponieważ , zaś środkiem odcinka jest punkt , to równanie odpowiedniego okręgu ma postać
My oczywiście szukamy takiego punktu tego okręgu, dla którego współrzędna odcięta wynosi zero, stąd
czyli i lub . Stąd odpowiedź: są dwa rozwiązania: lub .
Zadanie 5. (0-4) Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie, którego boki zawierają się w prostych o równaniach , oraz .
♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.
Sytuację przedstawia rysunek. Najpierw należy wyznaczyć wierzchołki trójkąta o bokach leżących na podanych prostych. W tym celu tworzymy trzy układy równań z podanych równań prostych i rozwiązujemy je.
Oznaczając przez wierzchołki trójkąta, ich współrzędne spełniają więc kolejno zależności
Stąd , i .
Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych jego boków. Niech oznacza środek boku , zaś będzie środkiem boku . Wtedy oczywiście i podobnie . Teraz znależy znaleźć równania prostych prostopadłych do odpowiednich boków i przechodzących przez wyznaczone punkty i . Symetralna boku przechodzi przez i jej współczynnikiem kierunkowym jest liczba , czyli ma ona równanie . Zaś symetralna boku przechodzi przez i ma współczynnik kierunkowy równy , ma więc postać .
Środek szukanego okręgu ma współrzędne spełniające układ równań
Pozostaje jeszcze obliczenie promienia okręgu. W tym celu wyznaczamy długość odcinka . Mamy
Ostatecznie, równanie okręgu opisanego na trójkącie ma postać
Zadanie 1. (0-3) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji , określonej wzorem w przedziale .
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.
Dana funkcja jest podana niemal w postaci iloczynowej, jej wzór możemy zapisać jako . To oznacza, że miejscami zerowymi są oraz . Wierzchołek, w którym funkcja osiąga wartość największą, ma współrzędne i . Najmniejszą wartość funkcja będzie przyjmować w jednym z końców podanego przedziału, obliczamy więc i i wybieramy mniejszą z otrzymanych liczb.
Ostatecznie najmniejsą wartością funkcji na danym przedziale jest , zaś największa to .
Zadanie 2. (0-5) Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2002.
Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, gdy jego wyróżnik (tzn. delta: ) jest ujemny. W danym przykładzie należy jeszcze osobno sprawdzić przypadek , gdy równanie przestaje być kwadratowe (współczynnik przy zależy od parametru – stąd taka konieczność). Podstawiając do równania otrzymujemy zależność liniową: , która, jak widać, ma rozwiązanie. Możemy więc dalej zakładać, że . Wtedy
(1)
Należy teraz rozwiązać nierówność , czyli
Określamy miejsca zerowe: oraz i zaznaczamy je na osi liczbowej wraz ze schematycznym wykresem paraboli (w naszym przypadku aktualną zmienną jest i współczynnik przy jest dodatni – wynosi , zatem rysowana parabola ma ramiona skierowane ku górze). Nierówność jest ostra, więc końce wyznaczonego przedziału nie wchodzą do zbioru rozwiązań.
Tym samym otrzymujemy odpowiedź: , wykluczona wcześniej wartość nie znajduje się w tym przedziale.
Zadanie 3. (0-5) Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ma dwa
różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od .
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.
Aby dana funkcja kwadratowa miała dwa różne pierwiastki rzeczywiste, musi być , czyli
Daje nam to zbiór .
Drugi warunek dotyczący pierwiastków ma postać . Przepiszmy go w taki sposób, aby można było wykorzystać wzory Viete’a:
Stąd
czyli .
Ostatecznie, uwzględniając część wspólną uzyskanych zbiorów, mamy odpowiedź .
Zadanie 4. (0-5) Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których nierówność
jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej .
♦ matura – poziom rozszerzony, lipiec 2020.
Najpierw należy daną nierówność uporządkować, aby poprawnie odczytać wartości poszczególnych współczynników. Mamy
Funkcja kwadratowa po lewej stronie będzie przyjmowała zawsze (dla każdego ) wartości dodatnie tylko wtedy, gdy współczynnik będzie dodatni i jednocześnie wyróżnik (nie chcemy mieć żadnych miejsc zerowych – parabola jako wykres tej funkcji kwadratowej musi mieć ramiona skierowane do góry i nie może przecinać osi ).
Stąd . Obliczamy i oraz , a następnie graficznie rozwiązujemy nierówność.
Wracamy do warunku . Mamy
Tę nierówność rozwiązujemy podobnie, otrzymując . Na koniec trzeba wyznaczyć część wspólną otrzymanych zbiorów. To prowadzi do odpowiedzi:
Zadanie 5. (0-6) Funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe , . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi nie więcej niż .
♦ matura próbna ,,Nowa Era” – poziom rozszerzony, styczeń 2018.
Aby podana funkcja była kwadratowa, to musimy założyć, że współczynnik przy wyrazie jest niezerowy: . Dwa różne miejsca zerowe istnieją tylko wtedy, gdy . To oznacza, że interesuje nas układ trzech warunków
Mamy gdy . Dodatkowo
Rozwiązanie odczytujemy z rysunku, zaznaczając na osi liczbowej te wartości , które zerują otrzymany iloczyn (czyli 0 i 5).
czyli .
Ostatni warunek przekształcamy tak, aby móc użyć wzorów Viete’a – podnosząc nierówność obustronnie do kwadratu: , czyli
Stąd
A po uporządkowaniu dostajemy nierówność kwadratową: . Obliczamy wyróżnik i pierwiastki otrzymanego trójmianu: i oraz .
Podobnie jak poprzednio otrzymujemy odpowiedni zbiór: . Na koniec zbieramy wszystkie warunki i wyznaczamy część wspólną uzyskanych zbiorów.
Odpowiedź: , czyli
Zadanie 6. (0-5) Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których rozwiązania i równania spełniają warunek .
♦ matura próbna ,,Operon” i GW – poziom rozszerzony, listopad 2008.
Najpierw porządkujemy dane równanie tak, aby otrzymać postać zależności kwadratowej. Mamy
Skoro rozwiązania i mają istnieć, to . Czyli . Jako suma kwadratu i liczby 9, jest to liczba dodatnia dla dowolnej wartości rzeczywistej , stąd .
Warunek na pierwiastki przekształcamy tak, aby można było użyć wzorów Viete’a:
stąd . Mamy zatem , czyli i uzyskujemy końcową odpowiedź: lub .
Zadanie 7. (0-6) Wyznacz wszystkie liczby całkowite , dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla każdego .
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, grudzień 2005.
Dana funkcja kwadratowa będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie (dla wszystkich ), gdy jej współczynnik przy wyrazie będzie dodatni, zaś wyróżnik .
Pierwszy warunek jest spełniony. Mamy też
Aby rozwiązać powyższą nierówność wygodnie będzie wprowadzić zmienną pomocniczą . Wtedy otrzymamy , czyli . To prowadzi do . Ponieważ , więc jest to zawsze wartość dodatnia i interesuje nas tylko druga składowa otrzymanego zbioru. Stąd , a ponieważ interesują nas całkowite wartości , więc .
Ostatecznie mamy odpowiedź: .
Zadanie 8. (0-6) Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji , gdzie , są różnymi pierwiastkami równania , w którym .
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2006.
Dla dana zależność przestaje być równaniem kwadratowym (a nawet powstaje wtedy równanie sprzeczne), stąd wykluczenie podane już w treści zadania.
Ponieważ interesuje nas sytuacja, gdy równanie ma dwa różne pierwiastki, więc musi być , stąd
(2)
Otrzymaną nierówność wielomianową rozwiązujemy graficznie, zaznaczając punkty , , na osi liczbowej i prowadząc odpowiednio szkic wykresu; należy pamiętać, że dla mamy podwójne miejsce zerowe, więc w tym punkcie wykres będzie styczny do osi.
Uzyskany zbiór: stanowi dziedzinę funkcji . Jej wartość określimy na podstawie wzorów Vi{\`e}te’a. Mamy
Widać zatem, że należy naszkicować wykres funkcji homograficznej (na odpowiedniej dziedzinie). Powstaje on przez przesunięcie wykresu funkcji o wektor .
Zadanie 9. (0-6) Wyznacz wartości parametru , dla których równanie ma dwa rozwiązania dodatnie takie, że jedno z nich jest dwa razy większe od drugiego.
♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.
Zadanie należy do nietypowych. Przy standardowym podejściu należałoby ustalić dla jakich wartości spełnione są warunki
które odpowiadają kolejno za to, że równanie jest kwadratowe, że ma dwa różne pierwiastki i w końcu że pierwiastki te są liczbami dodatnimi.
My jednak zajmiemy się warunkiem, aby jeden z tych pierwiastków był dwukrotnością drugiego. Oznaczmy je przez oraz . Wtedy i jednocześnie . Stąd
czyli – korzystając ze wzorów Viete’a – dostaniemy równanie
Po prostej redukcji wyrazów podobnych dostaniemy . Rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymamy i lub .
Widzimy zatem, że możliwe są co najwyżej dwie wartości spełniające warunki zadania. Wracając do pierwotnie podanych założeń, zamiast je rozwiązywać dla wszystkich , wystarczy sprawdzić, która ze znalezionych dwóch wartości te warunki spełniają.
Dla mamy i dalej , czyli oraz i . Warunki są spełnione.
Dla mamy i dalej , ale wtedy jednak więc pierwiastki nie są dodatnie.
Końcowa odpowiedź: jest tylko jedna wartość parametru , mianowicie .
Zadanie 10. (0-4) Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji .
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2008.
Zaczynamy od dziedziny. Aby dane w zadaniu wyrażenie miało sens, musi być , czyli , skąd . Zauważmy też przy okazji, że podstawa logarytmu wynosi , to oznacza, że funkcja jest malejąca: im większy argument, tym mniejsza jest wartość tej funkcji. Zatem wystarczy w obrębie naszej dziedziny znaleźć największą wartość funkcji kwadratowej . Maksimum tej funkcji kwadratowej jest oczywiście przyjmowane w wierzchołku, czyli dla i wynosi ono . Wtedy
To daje szukaną odpowiedź.
Zadanie 11. (0-5) Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, marzec 2021.
Jest to typowe równanie kwadratowe z parametrem. Warunki opisane w zadaniu można wyrazić następująco:
istnieją dwa różne rozwiązania: ,
rozwiązania są dodatnie: – w ten sposób najłatwiej wykorzystać wzory Viete’a.
Uzyskane nierówności prowadzą do zależności:
(3)
oraz
Pierwszą z tych nierówności, przez rozkład na czynniki zapisujemy jako . Ilustracje obu nierówności oraz pokazuje rysunek.
Część wspólna uzyskanych wartości to przedział .
Zadanie 12. (0-5) Liczby i są rozwiązaniami równania
z niewiadomą . Oblicz wartości i .
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2008.
Jeśli wstawimy podane liczby oraz do równania, otrzymamy dość skomplikowany układ równań kwadratowych wiążący szukane wielkości oraz . Posłużymy się więc wzorami Viete’a. Wskazówką, że wzory te mogą być w naszym przypadku pomocne jest fakt, iż liczby oraz są całkowite, co znacząco ułatwi obliczenia. Mamy
Otrzymany układ równań rozwiązujemy metodą podstawiania: , stąd
Obliczamy wyróżnik , zatem oraz . Wtedy odpowiednio otrzymujemy i .
To daje nam końcową odpowiedź: są dwa rozwiązania: lub .
Zadanie 1. (0-4) Wyznacz wartości i współczynników wielomianu wiedząc, że oraz, że reszta z dzielenia przez jest równa 10.
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.
Zależność natychmiast zamieniamy na równanie wiążące współczynniki i . Mamy
Drugą informację podaną w zadaniu wykorzystamy w połączeniu z twierdzeniem Bezouta. Wynika z niego, że reszta z dzielenia dowolnego wielomianu przez wynosi . Zatem mamy i tym samym
Otrzymaliśmy układ równań na szukane współczynniki:
Dzieląc pierwsze równanie przez 2, drugie przez 3 i odejmując je stronami uzyskamy zależność , czyli i . Wtedy . Mamy więc odpowiedź: oraz .
Zadanie 2. (0-3) Rozwiąż nierówność
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2021.
Mamy do rozwiązania zwykłą nierówność w postaci wymiernej. Na początku koniecznie podajemy dziedzinę i nie mnożymy nierówności przez niewiadomą! To powoduje, że początkowe przekształcanie polega na przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę i obliczeniu różnicy. Mamy oraz i dalej
Dokonujemy obliczeń w liczniku i mamy
Otrzymaną w liczniku funkcję kwadratową rozkładamy na czynniki, w tym celu obliczamy wyróżnik i miejsca zerowe: , stąd oraz . Ostatecznie mamy nierówność postaci
Standardowa metoda polega na rozwiązaniu nierówności wielomianowej – uzyskanej z zamiany ilorazu danych wyrażeń na ich iloczyn. Wynika to stąd, że porównujemy wynik odpowiedniego działania z zerem; w naszym przypadku pytamy o to, kiedy iloraz przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero; odpowiedź (w obrębie dziedziny) jest taka sama jak w przypadku iloczynu. Zatem formalnie rozwiązujemy nierówność
Oczywiście stałe 5 i 12 możemy pominąć, bo one nie wpływają na znak danego wyrażenia. Rysunek poniżej przedstawia szkic odpowiedniego wykresu z zaznaczoną dziedziną i .
Odpowiedź: .
Zadanie 3. (0-3) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale .
♦ matura próbna – poziom rozszerzony ,,Operon”, listopad 2019.
Dla wyznaczenia wartości największej i najmniejszej funkcji na danym przedziale, należy przeanalizować wartości tej funkcji w punktach, w których może pojawić się ekstremum lokalne oraz na końcach przedziału. W naszym przypadku funkcja posiada pochodną dla i mamy
Widać stąd, że tylko wtedy, gdy . Ponieważ , to punktami krytycznymi są oraz . Sprawdzamy więc jedynie wartości , i . Największą spośród nich jest zaś najmniejsza to . To są szukane liczby.
Zadanie 4. (0-3) Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
♦ matura próbna – poziom rozszerzony ,,Nowa Era”, styczeń 2018.
Przekształcimy dane wyrażenie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Mamy
(1)
Widać teraz, że istotnie dane wyrażenie przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. To kończy dowód.