Ciągi | Matematyczne nietuzinki ;)

Zadanie 1. (0-5)
O liczbach $a$ , $b$ , $c$ wiemy, że ciąg $(a, b, c)$ jest arytmetyczny i $a + c = 10$ , zaś ciąg $(a+1, b+4, c+19)$ jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.

Z warunku na ciąg arytmetyczny wiemy, że $2b=a+c$ , a ponieważ ta ostatnia suma wynosi $10$ , to $2b=10$ i $b=5$ . Przechodząc do warunku na ciąg geometryczny otrzymujemy

$(b+4)^2=(a+1)(c+19)\quad\Longrightarrow\quad (a+1)(c+19)=9^2=81.$

Podstawmy $c=10-a$ do tego równania. Wtedy

$(a+1)(10-a+19)=81\quad\Longleftrightarrow\quad -a^2+28a+29=81,$

co po uporządkowaniu daje równość $a^2-28a+52=0$ . Obliczamy wyróżnik $\Delta=(-28)^2-4\cdot 1\cdot 52=576$ i $\Delta=24$ . Stąd $a_1=\dfrac{28-24}{2}=2$ oraz $a_2=\dfrac{28+24}{2}=26$ . Wyniki te prowadzą odpowiednio do $c_1=10-a_1=8$ lub $c_2=10-a_2=-16$ .

Ostatecznie uzyskujemy dwa możliwe rozwiązania: $(a,b,c)=(2,5,8)$ albo $(a,b,c)=(26,5,-16)$ .

Zadanie 2. (0-3)
Suma $n$ początkowych, kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ , jest obliczana według wzoru $S_n=n^2+3n$ , $n\in\mathbf{N}$ . Wyznacz $a_n$ . Wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym.

♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.

Formalnie suma $n$ początkowych wyrazów dowolnego ciągu $(a_n)$ to wartość

$S_n=\underbrace{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}}_{=S_{n-1}}+a_n=S_{n-1}+a_n$

dla $n\geqslant 2$ oraz $S_1=a_1$ . Zatem mamy zależność $a_n=S_n-S_{n-1}$ przy $n\geqslant 2$ .

Po podstawieniu danych z zadania, otrzymujemy

$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+3n-\left((n-1)^2+3(n-1)\right)=2n+2,$

dla $n\geqslant 2$ oraz $a_1=S_1=1^2+3\cdot 1=4$ . Widać więc, że wzór ogólny $a_n=2n+2$ działa dla wszystkich $n\in\mathbf{N}$ .

Aby pokazać, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, wystarczy sprawdzić, że różnica jego sąsiednich wyrazów jest stała. Mamy

$a_{n+1}-a_n=2(n+1)+2-(2n+2)=2.$

To kończy dowód i rozwiązanie zadania.

Zadanie 3. (0-4)
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.

♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.

Oznaczmy przez $(b_n)$ dowolny ciąg geometryczny; załóżmy, że $b_{10}=10$ i niech $q$ będzie ilorazem tego ciągu. Wtedy

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

dla $n=1,2,3,\ldots$ . W szczególności mamy $b_1\cdot q^9=10$ .

Zobaczmy jak inaczej można zapisać iloczyn dziewiętnastu kolejnych początkowych wyrazów naszego ciągu. Mamy

(1) $\begin{eqnarray*} b_1 b_2 b_3\ldots b_{19} &=& b_1\cdot (b_1 q)\cdot (b_1 q^2)\cdot (b_1 q^3)\cdot\ldots\cdot(b_1 q^{18})=\nonumber\\ &=& b_1^{19}\cdot q^{1+2+3+\ldots+18}.\nonumber \end{eqnarray*}$

Sumę $1+2+3+\ldots+18$ obliczamy albo bezpośrednio albo korzystając ze wzoru na sumę wyrazów w ciągu arytmetycznym. Otrzymujemy $1+2+3+\ldots+18=\dfrac{1+18}{2}\cdot 18=19\cdot 9$ . Ostatecznie więc mamy

$b_1 b_2 b_3\ldots b_{19} = b_1^{19}\cdot q^{9\cdot 19}=\left(b_1 q^{9}\right)^{19}=b_{10}^{19}=10^{19}.$

Zadanie 4. (0-5)
Rozwiąż nierówność

$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+\ldots\geqslant 2-x,$

gdzie lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym zbieżnym. Podaj odpowiednie założenia.

♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.

Oczywiście musi być $x\neq 3$ . Aby występujący w zadaniu szereg geometryczny był zbieżny, jego iloraz $q=\dfrac{1}{x-3}$ musi spełniać nierówność $|q|<1$ . Stąd

$\left|\frac{1}{x-3}\right|<1\quad \Leftrightarrow\quad |x-3|>1.$

To oznacza, że $x-3<-1$ lub $x-3>1$ , czyli mamy założenia: $x\in(-\infty,2)\cup(4,\infty)$ .

Suma zbieżnego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$ jest równa $\dfrac{a_1}{1-q}$ , czyli dana nierówność przyjmuje postać

$\frac{\frac{1}{x-3}}{1-\frac{1}{x-3}} \geqslant 2-x\quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{x-3-1}\geqslant 2-x.$

To prowadzi do nierówności $\dfrac{1-(2-x)(x-4)}{(x-4)}\geqslant 0$ , a stąd $\dfrac{x^2-6x+9}{x-4}\geqslant 0$ i tym samym $(x-3)^2(x-4)\geqslant 0$ (przy podanych wcześniej założeniach).

$\begin{tikzpicture}[scale=1.3,yscale=1] \draw[thin,fill=red!20,red!20] (3,0) rectangle (4.8,0.3); \draw[thick,blue,domain=2.5:4.2, smooth, variable=\x,yscale=4] plot ({\x},{(\x-3)*(\x-3)*(\x-4)}); \draw (3,0)--(3,0.3)--(4.8,0.3); \draw[very thick,->] (1.5,0)--(5,0) node[below] {$m$}; \foreach \x/\w in {3/{3},4/{4}} { \draw (\x,0)--(\x,-0.06) node[below] {$\w$}; \draw[fill=white] (\x,0) circle (2pt);} \draw[fill=black] (3,0) circle (2pt); \end{tikzpicture}$

Zbiór wyznaczony przez ostatnią nierówność pokazuje rysunek powyżej, co w połączeniu z założeniami daje końcową odpowiedź: $x\in(4,\,\infty)$ .

Zadanie 5. (0-3)
Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem

$a_n=\frac{1}{\dfrac{1}{\log_2(n+1)}+\dfrac{1}{\log_3(n+1)}+\ldots+\dfrac{1}{\log_{2018}(n+1)}}$

dla $n\geqslant 1$ . Uzasadnij, że wzór ciągu $(a_n)$ można zapisać w postaci $a_n=\log_{2018!}(n+1)$ i oblicz wartość wyrażenia $a_1+a_2+\ldots+a_{2017}$ .

♦ matura próbna ,,Nowa Era” – poziom rozszerzony, styczeń 2018.

Każdy z ułamków postaci $\dfrac{1}{\log_k(n+1)}$ można odwrócić pisząc $\log_{(n+1)} k$ dla $k=2,3,\ldots,2018$ . Wówczas mianownik wyrażenia definiującego wyraz $a_n$ jest sumą równą