Z warunku na ciąg arytmetyczny wiemy, że
, a ponieważ ta ostatnia suma wynosi
, to
i
. Przechodząc do warunku na ciąg geometryczny otrzymujemy
![\[(b+4)^2=(a+1)(c+19)\quad\Longrightarrow\quad (a+1)(c+19)=9^2=81.\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38ea4109b1c948fd118f234b47026fad_l3.png)
Podstawmy
do tego równania. Wtedy
![\[(a+1)(10-a+19)=81\quad\Longleftrightarrow\quad -a^2+28a+29=81,\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22cbfd9f11b562175c855c2913d531cf_l3.png)
co po uporządkowaniu daje równość

. Obliczamy wyróżnik

i

. Stąd

oraz

. Wyniki te prowadzą odpowiednio do

lub

.
Ostatecznie uzyskujemy dwa możliwe rozwiązania:
albo
.
Formalnie suma
początkowych wyrazów dowolnego ciągu
to wartość
![\[S_n=\underbrace{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}}_{=S_{n-1}}+a_n=S_{n-1}+a_n\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-85559bcb85c9a60a3b57dc864d93753b_l3.png)
dla

oraz

. Zatem mamy zależność

przy

.
Po podstawieniu danych z zadania, otrzymujemy
![\[a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+3n-\left((n-1)^2+3(n-1)\right)=2n+2,\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b231d2bd852a4c0973d55a464ac48420_l3.png)
dla

oraz

. Widać więc, że wzór ogólny

działa dla wszystkich

.
Aby pokazać, że ciąg
jest arytmetyczny, wystarczy sprawdzić, że różnica jego sąsiednich wyrazów jest stała. Mamy
![\[a_{n+1}-a_n=2(n+1)+2-(2n+2)=2.\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da92961b47f0338971a7c1e63970f8bd_l3.png)
To kończy dowód i rozwiązanie zadania.
Zadanie 3. (0-4)
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu
początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.
Oznaczmy przez
dowolny ciąg geometryczny; załóżmy, że
i niech
będzie ilorazem tego ciągu. Wtedy
![\[b_n=b_1\cdot q^{n-1}\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d731c8e9e74c56a5d26c7926dcc46d3e_l3.png)
dla

. W szczególności mamy

.
Zobaczmy jak inaczej można zapisać iloczyn dziewiętnastu kolejnych początkowych wyrazów naszego ciągu. Mamy
(1) 
Sumę
obliczamy albo bezpośrednio albo korzystając ze wzoru na sumę wyrazów w ciągu arytmetycznym. Otrzymujemy
. Ostatecznie więc mamy
![\[b_1 b_2 b_3\ldots b_{19} = b_1^{19}\cdot q^{9\cdot 19}=\left(b_1 q^{9}\right)^{19}=b_{10}^{19}=10^{19}.\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e780db681aceba4446131476421816be_l3.png)
Zadanie 4. (0-5)
Rozwiąż nierówność
![\[\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+\ldots\geqslant 2-x,\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8af2c73eb7c261a30841ca25ec43232_l3.png)
gdzie lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym zbieżnym. Podaj odpowiednie założenia.
♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.
Zadanie 5. (0-3)
Ciąg
jest określony wzorem
![\[a_n=\frac{1}{\dfrac{1}{\log_2(n+1)}+\dfrac{1}{\log_3(n+1)}+\ldots+\dfrac{1}{\log_{2018}(n+1)}}\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2f8021c5b74afae32908ace293d1dbfb_l3.png)
dla

. Uzasadnij, że wzór ciągu

można zapisać w postaci

i oblicz wartość wyrażenia

.
♦ matura próbna ,,Nowa Era” – poziom rozszerzony, styczeń 2018.
Każdy z ułamków postaci
można odwrócić pisząc
dla
. Wówczas mianownik wyrażenia definiującego wyraz
jest sumą równą
![\[\log_{(n+1)}2+\log_{(n+1)}3+\ldots+\log_{(n+1)}2018=\log_{(n+1)}2018!\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e847c4f365c43251e73db6be3f439ce2_l3.png)
Tym samym
![\[a_n=\dfrac{1}{\log_{(n+1)}2018!}=\log_{2018!}(n+1),\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d1eeb246a1021e78477717d81a157a0_l3.png)
co kończy rozwiązanie pierwszej części zadania.
Zauważmy teraz, że suma
wynosi
![\[S=\log_{2018!}2+\log_{2018!}3+\ldots+\log_{2018!} 2018=\log_{2018!}2018!=1.\]](http://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e51dac7bcd81b47d24e3830ea58a483_l3.png)