Ciągi – przykłady z rozwiązaniami

Zadanie 1. (0-5)
O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a + c = 10, zaś ciąg (a+1, b+4, c+19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.


Z warunku na ciąg arytmetyczny wiemy, że 2b=a+c, a ponieważ ta ostatnia suma wynosi 10, to 2b=10 i b=5. Przechodząc do warunku na ciąg geometryczny otrzymujemy

    \[(b+4)^2=(a+1)(c+19)\quad\Longrightarrow\quad (a+1)(c+19)=9^2=81.\]

Podstawmy c=10-a do tego równania. Wtedy

    \[(a+1)(10-a+19)=81\quad\Longleftrightarrow\quad -a^2+28a+29=81,\]

co po uporządkowaniu daje równość a^2-28a+52=0. Obliczamy wyróżnik \Delta=(-28)^2-4\cdot 1\cdot 52=576 i \Delta=24. Stąd a_1=\dfrac{28-24}{2}=2 oraz a_2=\dfrac{28+24}{2}=26. Wyniki te prowadzą odpowiednio do c_1=10-a_1=8 lub c_2=10-a_2=-16.

Ostatecznie uzyskujemy dwa możliwe rozwiązania: (a,b,c)=(2,5,8) albo (a,b,c)=(26,5,-16).

 

Zadanie 2. (0-3)
Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (a_n), jest obliczana według wzoru S_n=n^2+3n, n\in\mathbf{N}. Wyznacz a_n. Wykaż, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.


Formalnie suma n początkowych wyrazów dowolnego ciągu (a_n) to wartość 

    \[S_n=\underbrace{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}}_{=S_{n-1}}+a_n=S_{n-1}+a_n\]

dla n\geqslant 2 oraz S_1=a_1. Zatem mamy zależność a_n=S_n-S_{n-1} przy n\geqslant 2.

Po podstawieniu danych z zadania, otrzymujemy

    \[a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+3n-\left((n-1)^2+3(n-1)\right)=2n+2,\]

dla n\geqslant 2 oraz a_1=S_1=1^2+3\cdot 1=4. Widać więc, że wzór ogólny a_n=2n+2 działa dla wszystkich n\in\mathbf{N}.

Aby pokazać, że ciąg (a_n) jest arytmetyczny, wystarczy sprawdzić, że różnica jego sąsiednich wyrazów jest stała. Mamy

    \[a_{n+1}-a_n=2(n+1)+2-(2n+2)=2.\]

To kończy dowód i rozwiązanie zadania.

 

Zadanie 3. (0-4)
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.

♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.


Oznaczmy przez (b_n) dowolny ciąg geometryczny; załóżmy, że b_{10}=10 i niech q będzie ilorazem tego ciągu. Wtedy

    \[b_n=b_1\cdot q^{n-1}\]

dla n=1,2,3,\ldots. W szczególności mamy b_1\cdot q^9=10.

Zobaczmy jak inaczej można zapisać iloczyn dziewiętnastu kolejnych początkowych wyrazów naszego ciągu. Mamy

(1)   \begin{eqnarray*} b_1 b_2 b_3\ldots b_{19} &=& b_1\cdot (b_1 q)\cdot (b_1 q^2)\cdot (b_1 q^3)\cdot\ldots\cdot(b_1 q^{18})=\nonumber\\ &=& b_1^{19}\cdot q^{1+2+3+\ldots+18}.\nonumber \end{eqnarray*}

Sumę 1+2+3+\ldots+18 obliczamy albo bezpośrednio albo korzystając ze wzoru na sumę wyrazów w ciągu arytmetycznym. Otrzymujemy 1+2+3+\ldots+18=\dfrac{1+18}{2}\cdot 18=19\cdot 9. Ostatecznie więc mamy

    \[b_1 b_2 b_3\ldots b_{19} = b_1^{19}\cdot q^{9\cdot 19}=\left(b_1 q^{9}\right)^{19}=b_{10}^{19}=10^{19}.\]

 

Zadanie 4. (0-5)
Rozwiąż nierówność

    \[\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+\ldots\geqslant 2-x,\]

gdzie lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym zbieżnym. Podaj odpowiednie założenia.

♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.


Oczywiście musi być x\neq 3. Aby występujący w zadaniu szereg geometryczny był zbieżny, jego iloraz q=\dfrac{1}{x-3} musi spełniać nierówność |q|<1. Stąd

    \[\left|\frac{1}{x-3}\right|<1\quad \Leftrightarrow\quad |x-3|>1.\]

To oznacza, że x-3<-1 lub x-3>1, czyli mamy założenia: x\in(-\infty,2)\cup(4,\infty).

Suma zbieżnego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie a_1 i ilorazie q jest równa \dfrac{a_1}{1-q}, czyli dana nierówność przyjmuje postać

    \[\frac{\frac{1}{x-3}}{1-\frac{1}{x-3}}	\geqslant 2-x\quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{x-3-1}\geqslant 2-x.\]

To prowadzi do nierówności \dfrac{1-(2-x)(x-4)}{(x-4)}\geqslant 0, a stąd \dfrac{x^2-6x+9}{x-4}\geqslant 0 i tym samym (x-3)^2(x-4)\geqslant 0 (przy podanych wcześniej założeniach).

\begin{tikzpicture}[scale=1.3,yscale=1] \draw[thin,fill=red!20,red!20] (3,0) rectangle (4.8,0.3); \draw[thick,blue,domain=2.5:4.2, smooth, variable=\x,yscale=4] plot ({\x},{(\x-3)*(\x-3)*(\x-4)}); \draw (3,0)--(3,0.3)--(4.8,0.3); \draw[very thick,->] (1.5,0)--(5,0) node[below] {$m$}; \foreach \x/\w in {3/{3},4/{4}} {  \draw (\x,0)--(\x,-0.06) node[below] {$\w$};   \draw[fill=white] (\x,0) circle (2pt);} \draw[fill=black] (3,0) circle (2pt); \end{tikzpicture}

Zbiór wyznaczony przez ostatnią nierówność pokazuje rysunek powyżej, co w połączeniu z założeniami daje końcową odpowiedź: x\in(4,\,\infty).

 

Zadanie 5. (0-3)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem

    \[a_n=\frac{1}{\dfrac{1}{\log_2(n+1)}+\dfrac{1}{\log_3(n+1)}+\ldots+\dfrac{1}{\log_{2018}(n+1)}}\]

dla n\geqslant 1. Uzasadnij, że wzór ciągu (a_n) można zapisać w postaci a_n=\log_{2018!}(n+1) i oblicz wartość wyrażenia a_1+a_2+\ldots+a_{2017}.

♦ matura próbna ,,Nowa Era” – poziom rozszerzony, styczeń 2018.


Każdy z ułamków postaci \dfrac{1}{\log_k(n+1)} można odwrócić pisząc \log_{(n+1)} k dla k=2,3,\ldots,2018. Wówczas mianownik wyrażenia definiującego wyraz a_n jest sumą równą

    \[\log_{(n+1)}2+\log_{(n+1)}3+\ldots+\log_{(n+1)}2018=\log_{(n+1)}2018!\]

Tym samym

    \[a_n=\dfrac{1}{\log_{(n+1)}2018!}=\log_{2018!}(n+1),\]

co kończy rozwiązanie pierwszej części zadania.

Zauważmy teraz, że suma S=a_1+a_2+\ldots+a_{2017} wynosi

    \[S=\log_{2018!}2+\log_{2018!}3+\ldots+\log_{2018!} 2018=\log_{2018!}2018!=1.\]

 

Wielomiany i funkcje wymierne – przykłady z rozwiązaniami

Zadanie 1. (0-4)
Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W(x)=x^3+ax^2+bx+1 wiedząc, że W(2)=7 oraz, że reszta z dzielenia W(x) przez (x-3) jest równa 10.

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.


Zależność W(2)=7 natychmiast zamieniamy na równanie wiążące współczynniki a i b. Mamy

    \[W(2)=2^3+a\cdot 2^2+b\cdot 2+1\quad\Longrightarrow\quad 4a+2b+9=7.\]

Drugą informację podaną w zadaniu wykorzystamy w połączeniu z twierdzeniem Bezouta. Wynika z niego, że reszta z dzielenia dowolnego wielomianu W(x) przez (x-r) wynosi W(r). Zatem mamy W(3)=10 i tym samym

    \[W(3)=3^3+a\cdot 3^2+b\cdot 3+1\quad\Longrightarrow\quad 9a+3b+28=10.\]

Otrzymaliśmy układ równań na szukane współczynniki:

    \[\left\{\begin{array}{l}4a+2b=-2\\9a+3b=-18\end{array}\right..\]

Dzieląc pierwsze równanie przez 2, drugie przez 3 i odejmując je stronami uzyskamy zależność (2a+b)-(3a+b)=-1-(-6), czyli -a=5 i a=-5. Wtedy b=-2a-1=-2\cdot(-5)-1=9. Mamy więc odpowiedź: a=-5 oraz b=9.

 

Zadanie 2. (0-3)
Rozwiąż nierówność

    \[\frac{2x-1}{1-x}\leqslant \frac{2+2x}{5x}.\]

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2021.


Mamy do rozwiązania zwykłą nierówność w postaci wymiernej. Na początku koniecznie podajemy dziedzinę i nie mnożymy nierówności przez niewiadomą! To powoduje, że początkowe przekształcanie polega na przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę i obliczeniu różnicy. Mamy x\neq 1 oraz x\neq 0 i dalej

    \[\frac{2x-1}{1-x}-\frac{2+2x}{5x}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \frac{(2x-1)(5x)-(2+2x)(1-x)}{(1-x)(5x)}\leqslant 0.\]

Dokonujemy obliczeń w liczniku i mamy

    \[\frac{10x^2-5x-(2-2x+2x-2x^2)}{5x(1-x)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \frac{12x^2-5x-2}{5x(1-x)}\leqslant 0.\]

Otrzymaną w liczniku funkcję kwadratową rozkładamy na czynniki, w tym celu obliczamy wyróżnik \Delta i miejsca zerowe: \Delta=25-4\cdot 12\cdot (-2)=121, stąd x_1=\dfrac{5-11}{24}=-\dfrac{1}{4} oraz x_2=\dfrac{5+11}{24}=\dfrac{2}{3}. Ostatecznie mamy nierówność postaci

    \[\frac{12\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)}{5x(1-x)}\leqslant 0.\]

Standardowa metoda polega na rozwiązaniu nierówności wielomianowej – uzyskanej z zamiany ilorazu danych wyrażeń na ich iloczyn. Wynika to stąd, że porównujemy wynik odpowiedniego działania z zerem; w naszym przypadku pytamy o to, kiedy iloraz przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero; odpowiedź (w obrębie dziedziny) jest taka sama jak w przypadku iloczynu. Zatem formalnie rozwiązujemy nierówność

    \[x(1-x)\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)\leqslant 0.\]

Oczywiście stałe 5 i 12 możemy pominąć, bo one nie wpływają na znak danego wyrażenia. Rysunek poniżej przedstawia szkic odpowiedniego wykresu z zaznaczoną dziedziną x\neq 0 i x\neq 1.

\begin{tikzpicture}[scale=1,xscale=3.33] \draw[fill=red!20,red!20] (-0.7,0) rectangle (-0.25,0.3); \draw[thin] (-0.7,0.3)--(-0.25,0.3)--(-0.25,0); \draw[fill=red!20] (0,0) rectangle (0.667,0.3); \draw[fill=red!20,red!20] (1,0) rectangle (1.4,0.3); \draw[thin] (1.4,0.3)--(1,0.3)--(1,0); \draw[very thick,->,xscale=1] (-0.8,0)--(1.5,0) node[below] {$x$}; \draw[thick,blue,domain=-0.35:1.08, smooth, variable=\x,yscale=8] plot ({\x},{4*(1-\x)*(\x+0.25)*\x*(\x-0.6667)}); \foreach \x/\w in {-0.25/{-\frac{1}{4}},0/0,0.667/{\frac{2}{3}},1/1} {  \draw (\x,0)--(\x,-0.06) node[below] {$\w$};   \draw[fill=white,xscale=0.333] (3*\x,0) circle (2pt);} \foreach \x/\w in {-0.25/{-\frac{1}{4}},0.667/{\frac{2}{3}}}   \draw[fill=black,xscale=0.333] (3*\x,0) circle (2pt); \end{tikzpicture}

Odpowiedź: x\in\left(-\infty,\,-\dfrac{1}{4}\right)\cup\left(0,\,\dfrac{2}{3}\right)\cup (1,\,\infty).

 

Zadanie 3. (0-3)
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x)=\dfrac{x^2+8}{x+1} w przedziale [0,\,3].

♦ matura próbna – poziom rozszerzony ,,Operon”, listopad 2019.


Dla wyznaczenia wartości największej i najmniejszej funkcji na danym przedziale, należy przeanalizować wartości tej funkcji w punktach, w których może pojawić się ekstremum lokalne oraz na końcach przedziału. W naszym przypadku funkcja f(x) posiada pochodną dla x\in[0,3] i mamy

    \[f'(x)=\frac{2x(x+1)-(x^2+8)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}.\]

Widać stąd, że f'(x)=0 tylko wtedy, gdy x^2+2x-8=0. Ponieważ \Delta=36, to punktami krytycznymi są x_1=\dfrac{-2-6}{2}=-4\not\in[0,3] oraz x_2=\dfrac{-2+6}{2}=2\in[0,3]. Sprawdzamy więc jedynie wartości f(2)=\dfrac{12}{3}=4, f(0)=8 i f(3)=\dfrac{17}{4}. Największą spośród nich jest f(0)=8, zaś najmniejsza to f(2)=4. To są szukane liczby.

 

Zadanie 4. (0-3)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

    \[x^4-4x^3-2x^2+12x+9\geqslant 0.\]

♦ matura próbna – poziom rozszerzony ,,Nowa Era”, styczeń 2018.


Przekształcimy dane wyrażenie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Mamy

(1)   \begin{eqnarray*} &{}& x^4-4x^3-2x^2+12x+9=\nonumber\\ &=&\left(x^4-4x^3+4x^2\right)-3\left(2x^2-4x\right)+9=\nonumber\\ &=& (x^2-2x)^2 -2\cdot (x^2-2x)\cdot 3+3^2=\nonumber\\ &=&(x^2-2x-3)^2.\nonumber \end{eqnarray*}

Widać teraz, że istotnie dane wyrażenie przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. To kończy dowód.