Poniżej prezentujemy rozwiązania wszystkich zadań maturalnych z matematyki dla poziomu rozszerzonego, z którymi abiturienci mierzyli się 12. maja 2023 r. Zadania pochodzą z arkusza opublikowanego w serwisie Centralnej Komisji Egzaminacyjnej.
Zadanie 1. (0-1)
Granica jest równa
A.
B.
C.
D.
Zadanie 2. (0-1)
Dane są wektory oraz
. Długość wektora
jest równa
A.
B.
C.
D.
Zadanie 3. (0-1)
Punkty ,
,
,
,
leżą na okręgu o środku
. Miara kąta
jest równa
, a miara kąta
jest równa
(zobacz rysunek).
![DEA](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-10e255cac3b959ddf319b0635cea8a2e_l3.png)
A.
![100^\circ](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97c7df63424a45bad2c2cb1a1c53d39e_l3.png)
B.
![105^\circ](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eec9dd78db25c100cafe4c85319e3683_l3.png)
C.
![110^\circ](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-775b861a43e8f320726610128a92db62_l3.png)
D.
![115^\circ](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-548f10265f9c9d502984ec6df7b450db_l3.png)
Zadanie 4. (0-1)
Dany jest zbiór trzynastu liczb , z którego losujemy jednocześnie dwie liczby. Wszystkich różnych sposobów wylosowania z tego zbioru dwóch
liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą, jest
A.
B.
C.
D.
Zadanie 5. (0-2)
Wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.
Oblicz ten pierwiastek.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 6. (0-3)
Liczby rzeczywiste oraz
spełniają jednocześnie równanie
i nierówność
. Wykaż, że
oraz
.
Zadanie 7. (0-3)
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym
oraz
. Punkty
i
leżą na bokach – odpowiednio –
i
tak, że
(zobacz rysunek). Odcinek
przecina wysokość
tego trójkąta w punkcie
, a ponadto
.
Wykaż, że .
Zadanie 8. (0-3)
W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie – z kul pozostałych w pojemniku – losujemy jeszcze jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w drugim losowaniu.
Zadanie 9. (0-3)
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Punkt
należy do wykresu funkcji
. Oblicz
oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
.
Zadanie 10. (0-4)
Rozwiąż nierówność
![\sqrt{a^2}=|a|](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dbd551ecef2d464adc5bf6b1d88411c2_l3.png)
![a](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f884699c2a6fa2f6dc3ae7fa9477a737_l3.png)
Zadanie 11. (0-4)
Określamy kwadraty następująco:
• jest kwadratem o boku długości
• jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku
• jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej
• jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku
.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg
geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.
Zadanie 12. (0-4)
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Zadanie 13. (0-4)
Czworokąt , w którym
i
, jest opisany na okręgu. Przekątna
tego czworokąta tworzy z bokiem
kąt o mierze
, natomiast z bokiem
– kąt ostry, którego sinus jest równy
. Oblicz obwód czworokąta
.
Zadanie 14. (0-4)
Dany jest sześcian o krawędzi długości
. Punkt
jest punktem przecięcia
przekątnych
i
ściany bocznej
(zobacz rysunek).
![SBH](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12a3d3549f6d0b358f5bd0736cef666c_l3.png)
![S](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db66940202cdee1e7410b508515d267b_l3.png)
![BH](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1acd49935d1fa55b31405e9eacfbb7d5_l3.png)
Zadanie 15. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![x_1](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-300691f35c744d15c8a85ac651c4e911_l3.png)
![x_2](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-542e15481d346adf3db1eaff851c1942_l3.png)
![x_1^3+x_2^3>-28](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e69ac8e1cd7fcc150ff70089d16f62c4_l3.png)
Zadanie 16. (0-7)
Rozważamy trójkąty , w których
,
, gdzie
, a wierzchołek
leży na prostej o równaniu
. Na boku
tego trójkąta leży punkt
.
a) Wykaż, że dla pole
trójkąta
, jako funkcja zmiennej
, wyraża się wzorem
b) Oblicz tę wartość , dla której funkcja
osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej
, przy której funkcja
osiąga tę najmniejszą wartość.