Z warunku na ciąg arytmetyczny wiemy, że
, a ponieważ ta ostatnia suma wynosi
, to
i
. Przechodząc do warunku na ciąg geometryczny otrzymujemy
![\[(b+4)^2=(a+1)(c+19)\quad\Longrightarrow\quad (a+1)(c+19)=9^2=81.\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38ea4109b1c948fd118f234b47026fad_l3.png)
Podstawmy
do tego równania. Wtedy
![\[(a+1)(10-a+19)=81\quad\Longleftrightarrow\quad -a^2+28a+29=81,\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22cbfd9f11b562175c855c2913d531cf_l3.png)
co po uporządkowaniu daje równość
![a^2-28a+52=0](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34c8a525cacc04df268bc4d85ec3815a_l3.png)
. Obliczamy wyróżnik
![\Delta=(-28)^2-4\cdot 1\cdot 52=576](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd526ea458dd6cd32f190b4afe7b91e0_l3.png)
i
![\Delta=24](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dcbb985acf45c608fb99189cfe5821e1_l3.png)
. Stąd
![a_1=\dfrac{28-24}{2}=2](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-951de652a655fb304dc1f1cb5c3437e1_l3.png)
oraz
![a_2=\dfrac{28+24}{2}=26](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3fcd2c122adce1fa9b70911ba787974_l3.png)
. Wyniki te prowadzą odpowiednio do
![c_1=10-a_1=8](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3961898b5dbc49510d81e8295dc1ffa_l3.png)
lub
![c_2=10-a_2=-16](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35edd4fbe0404f976831b945b491ac27_l3.png)
.
Ostatecznie uzyskujemy dwa możliwe rozwiązania:
albo
.
Formalnie suma
początkowych wyrazów dowolnego ciągu
to wartość
![\[S_n=\underbrace{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}}_{=S_{n-1}}+a_n=S_{n-1}+a_n\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-85559bcb85c9a60a3b57dc864d93753b_l3.png)
dla
![n\geqslant 2](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dde3a0023ba16b340725a5d8fd9eba2c_l3.png)
oraz
![S_1=a_1](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e9f0532881625b8c4956e86d61fa3f3_l3.png)
. Zatem mamy zależność
![a_n=S_n-S_{n-1}](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9abe69b6c1914b8bf082fb977bf8de67_l3.png)
przy
![n\geqslant 2](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dde3a0023ba16b340725a5d8fd9eba2c_l3.png)
.
Po podstawieniu danych z zadania, otrzymujemy
![\[a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+3n-\left((n-1)^2+3(n-1)\right)=2n+2,\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b231d2bd852a4c0973d55a464ac48420_l3.png)
dla
![n\geqslant 2](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dde3a0023ba16b340725a5d8fd9eba2c_l3.png)
oraz
![a_1=S_1=1^2+3\cdot 1=4](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2fedf03411edc4f8f694ac112b1fc894_l3.png)
. Widać więc, że wzór ogólny
![a_n=2n+2](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f2b8358fd57b6d5809f6ca369bf50d0_l3.png)
działa dla wszystkich
![n\in\mathbf{N}](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1de31f84d5422468a1fc5bb413ab3596_l3.png)
.
Aby pokazać, że ciąg
jest arytmetyczny, wystarczy sprawdzić, że różnica jego sąsiednich wyrazów jest stała. Mamy
![\[a_{n+1}-a_n=2(n+1)+2-(2n+2)=2.\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da92961b47f0338971a7c1e63970f8bd_l3.png)
To kończy dowód i rozwiązanie zadania.
Zadanie 3. (0-4)
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu
początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.
Oznaczmy przez
dowolny ciąg geometryczny; załóżmy, że
i niech
będzie ilorazem tego ciągu. Wtedy
![\[b_n=b_1\cdot q^{n-1}\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d731c8e9e74c56a5d26c7926dcc46d3e_l3.png)
dla
![n=1,2,3,\ldots](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d41518394cac55e5b45f99b18d6d2eb1_l3.png)
. W szczególności mamy
![b_1\cdot q^9=10](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0949814f7f663ff2a9d87c87ecf023c5_l3.png)
.
Zobaczmy jak inaczej można zapisać iloczyn dziewiętnastu kolejnych początkowych wyrazów naszego ciągu. Mamy
(1) ![\begin{eqnarray*} b_1 b_2 b_3\ldots b_{19} &=& b_1\cdot (b_1 q)\cdot (b_1 q^2)\cdot (b_1 q^3)\cdot\ldots\cdot(b_1 q^{18})=\nonumber\\ &=& b_1^{19}\cdot q^{1+2+3+\ldots+18}.\nonumber \end{eqnarray*}](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f594671cc123a632373f3b8c2ddf46cd_l3.png)
Sumę
obliczamy albo bezpośrednio albo korzystając ze wzoru na sumę wyrazów w ciągu arytmetycznym. Otrzymujemy
. Ostatecznie więc mamy
![\[b_1 b_2 b_3\ldots b_{19} = b_1^{19}\cdot q^{9\cdot 19}=\left(b_1 q^{9}\right)^{19}=b_{10}^{19}=10^{19}.\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e780db681aceba4446131476421816be_l3.png)
Zadanie 4. (0-5)
Rozwiąż nierówność
![\[\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+\ldots\geqslant 2-x,\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8af2c73eb7c261a30841ca25ec43232_l3.png)
gdzie lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym zbieżnym. Podaj odpowiednie założenia.
♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.
Zadanie 5. (0-3)
Ciąg
jest określony wzorem
![\[a_n=\frac{1}{\dfrac{1}{\log_2(n+1)}+\dfrac{1}{\log_3(n+1)}+\ldots+\dfrac{1}{\log_{2018}(n+1)}}\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2f8021c5b74afae32908ace293d1dbfb_l3.png)
dla
![n\geqslant 1](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8b41184e483ca67faf3304a2c882af3_l3.png)
. Uzasadnij, że wzór ciągu
![(a_n)](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c830badcdf02386c18283584d18c7f70_l3.png)
można zapisać w postaci
![a_n=\log_{2018!}(n+1)](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8271afdfcb70e6ee838cf9e8b699c4b2_l3.png)
i oblicz wartość wyrażenia
![a_1+a_2+\ldots+a_{2017}](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2cc366b07562e9721840fe1bdfc42a3f_l3.png)
.
♦ matura próbna ,,Nowa Era” – poziom rozszerzony, styczeń 2018.
Każdy z ułamków postaci
można odwrócić pisząc
dla
. Wówczas mianownik wyrażenia definiującego wyraz
jest sumą równą
![\[\log_{(n+1)}2+\log_{(n+1)}3+\ldots+\log_{(n+1)}2018=\log_{(n+1)}2018!\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e847c4f365c43251e73db6be3f439ce2_l3.png)
Tym samym
![\[a_n=\dfrac{1}{\log_{(n+1)}2018!}=\log_{2018!}(n+1),\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d1eeb246a1021e78477717d81a157a0_l3.png)
co kończy rozwiązanie pierwszej części zadania.
Zauważmy teraz, że suma
wynosi
![\[S=\log_{2018!}2+\log_{2018!}3+\ldots+\log_{2018!} 2018=\log_{2018!}2018!=1.\]](https://bak.maszt.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e51dac7bcd81b47d24e3830ea58a483_l3.png)