Wielomiany i funkcje wymierne – przykłady z rozwiązaniami

Zadanie 1. (0-4)
Wyznacz wartości $a$ i $b$ współczynników wielomianu $W(x)=x^3+ax^2+bx+1$ wiedząc, że $W(2)=7$ oraz, że reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-3)$ jest równa 10.

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.

Zależność $W(2)=7$ natychmiast zamieniamy na równanie wiążące współczynniki $a$ i $b$ . Mamy

$W(2)=2^3+a\cdot 2^2+b\cdot 2+1\quad\Longrightarrow\quad 4a+2b+9=7.$

Drugą informację podaną w zadaniu wykorzystamy w połączeniu z twierdzeniem Bezouta. Wynika z niego, że reszta z dzielenia dowolnego wielomianu $W(x)$ przez $(x-r)$ wynosi $W(r)$ . Zatem mamy $W(3)=10$ i tym samym

$W(3)=3^3+a\cdot 3^2+b\cdot 3+1\quad\Longrightarrow\quad 9a+3b+28=10.$

Otrzymaliśmy układ równań na szukane współczynniki:

$\left\{\begin{array}{l}4a+2b=-2\\9a+3b=-18\end{array}\right..$

Dzieląc pierwsze równanie przez 2, drugie przez 3 i odejmując je stronami uzyskamy zależność $(2a+b)-(3a+b)=-1-(-6)$ , czyli $-a=5$ i $a=-5$ . Wtedy $b=-2a-1=-2\cdot(-5)-1=9$ . Mamy więc odpowiedź: $a=-5$ oraz $b=9$ .

Zadanie 2. (0-3)
Rozwiąż nierówność

$\frac{2x-1}{1-x}\leqslant \frac{2+2x}{5x}.$

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2021.

Mamy do rozwiązania zwykłą nierówność w postaci wymiernej. Na początku koniecznie podajemy dziedzinę i nie mnożymy nierówności przez niewiadomą! To powoduje, że początkowe przekształcanie polega na przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę i obliczeniu różnicy. Mamy $x\neq 1$ oraz $x\neq 0$ i dalej

$\frac{2x-1}{1-x}-\frac{2+2x}{5x}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \frac{(2x-1)(5x)-(2+2x)(1-x)}{(1-x)(5x)}\leqslant 0.$

Dokonujemy obliczeń w liczniku i mamy

$\frac{10x^2-5x-(2-2x+2x-2x^2)}{5x(1-x)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \frac{12x^2-5x-2}{5x(1-x)}\leqslant 0.$

Otrzymaną w liczniku funkcję kwadratową rozkładamy na czynniki, w tym celu obliczamy wyróżnik $\Delta$ i miejsca zerowe: $\Delta=25-4\cdot 12\cdot (-2)=121$ , stąd $x_1=\dfrac{5-11}{24}=-\dfrac{1}{4}$ oraz $x_2=\dfrac{5+11}{24}=\dfrac{2}{3}$ . Ostatecznie mamy nierówność postaci

$\frac{12\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)}{5x(1-x)}\leqslant 0.$

Standardowa metoda polega na rozwiązaniu nierówności wielomianowej – uzyskanej z zamiany ilorazu danych wyrażeń na ich iloczyn. Wynika to stąd, że porównujemy wynik odpowiedniego działania z zerem; w naszym przypadku pytamy o to, kiedy iloraz przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero; odpowiedź (w obrębie dziedziny) jest taka sama jak w przypadku iloczynu. Zatem formalnie rozwiązujemy nierówność

$x(1-x)\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)\leqslant 0.$

Oczywiście stałe 5 i 12 możemy pominąć, bo one nie wpływają na znak danego wyrażenia. Rysunek poniżej przedstawia szkic odpowiedniego wykresu z zaznaczoną dziedziną $x\neq 0$ i $x\neq 1$ .

Rendered by QuickLaTeX.com

Odpowiedź: $x\in\left(-\infty,\,-\dfrac{1}{4}\right)\cup\left(0,\,\dfrac{2}{3}\right)\cup (1,\,\infty)$ .

Zadanie 3. (0-3)
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=\dfrac{x^2+8}{x+1}$ w przedziale $[0,\,3]$ .

♦ matura próbna – poziom rozszerzony ,,Operon”, listopad 2019.

Dla wyznaczenia wartości największej i najmniejszej funkcji na danym przedziale, należy przeanalizować wartości tej funkcji w punktach, w których może pojawić się ekstremum lokalne oraz na końcach przedziału. W naszym przypadku funkcja $f(x)$ posiada pochodną dla $x\in[0,3]$ i mamy

$f'(x)=\frac{2x(x+1)-(x^2+8)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}.$

Widać stąd, że $f'(x)=0$ tylko wtedy, gdy $x^2+2x-8=0$ . Ponieważ $\Delta=36$ , to punktami krytycznymi są $x_1=\dfrac{-2-6}{2}=-4\not\in[0,3]$ oraz $x_2=\dfrac{-2+6}{2}=2\in[0,3]$ . Sprawdzamy więc jedynie wartości $f(2)=\dfrac{12}{3}=4$ , $f(0)=8$ i $f(3)=\dfrac{17}{4}$ . Największą spośród nich jest $f(0)=8,$ zaś najmniejsza to $f(2)=4$ . To są szukane liczby.

Zadanie 4. (0-3)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność

$x^4-4x^3-2x^2+12x+9\geqslant 0.$

♦ matura próbna – poziom rozszerzony ,,Nowa Era”, styczeń 2018.

Przekształcimy dane wyrażenie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Mamy

(1) $\begin{eqnarray*} &{}& x^4-4x^3-2x^2+12x+9=\nonumber\\ &=&\left(x^4-4x^3+4x^2\right)-3\left(2x^2-4x\right)+9=\nonumber\\ &=& (x^2-2x)^2 -2\cdot (x^2-2x)\cdot 3+3^2=\nonumber\\ &=&(x^2-2x-3)^2.\nonumber \end{eqnarray*}$

Widać teraz, że istotnie dane wyrażenie przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. To kończy dowód.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi