Zadanie 1. (0-4) Na bokach i równoległoboku zbudowano kwadraty i (zobacz
rysunek). Udowodnij, że .
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.
Zaznaczmy na rysunku interesujące nas odcinki i rozważmy taki dodatkowy punkt , aby czworokąt był równoległobokiem.
Wtedy ten nowy równoległobok jest przystający do wyjściowego równoległoboku . Odpowiednie przekątne też są jednakowe, a ponieważ , to przekątne i są właśnie jednakowej długości. To kończy dowód.
Zadanie 2. (0-4) Trapez równoramienny o podstawach i jest opisany na okręgu o promieniu . Wykaż, że .
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2013.
Wykonajmy stosowny rysunek. Zauważmy przy tym, że szkic wykorzystuje dodatkowe założenie, że . Należy mieć tego świadomość i w rozwiązaniu odpowiednio się do tego odnieść.
Z warunku opisywalności czworokąta na okręgu wiemy, że suma jego podstaw jest równa sumie długości ramion, czyli
bo trapez jest równoramienny. Stąd . Wykorzystajmy teraz twierdzenie pitagorasa dla trójkąta , gdzie punkt jest podstawą wysokości trapezu poprawodznej z wierzchołka . Wtedy, znów korzystając z równych długości ramion i symetrii całej figury, mamy . Uwaga. Gdyby przyjąć, że to podstawa jest dłuższa od podstawy , to odpowiedni odcinek miałby długość , jednak nie wpływa to na dalsze obliczenia (gdyż kwadrat obu wyrażeń jest taki sam).
Z twierdzenia Pitagorasa mamy teraz , czyli
co mieliśmy pokazać.
Zadanie 3. (0-4) Trapez równoramienny, o obwodzie równym cm, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość cm, oblicz pole tego trapezu.
♦ matura próbna – poziom rozszerzony, maj 2003.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku; zakładamy (bez zmniejszenia ogólności rozważań), że . Rachunki będziemy przeprowadzać w centymetrach, co uwzględnimy formułując końcową odpowiedź.
Z warunku opisywalności czworokąta na okręgu i z tego, że trapez jest równoramienny wynika, że suma długości przeciwległych boków jest równa połowie obwodu: . Stąd oraz .
Napiszmy twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów i . Mamy
Wiemy też, że i . Podstawiając to do wcześniejszych równości i odejmując je stronami, uzyskamy
Mamy więc i . Rozwiązując ten układ równań dostaniemy i dalej , czyli , a stąd . To prowadzi nas do możliwych rozwiązań lub , jednak , czyli i .
Wówczas i stąd , czyli , więc . To już prowadzi do odpowiedzi: szukane pole trapezu wynosi cm.
Zadanie 4. (0-3) Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i , w którym kąt między środkową a wysokością wychodzącymi z wierzchołka kąta prostego ma miarę . Wykaż, że .
♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.
Rozważmy trójkąt prostokątny , w którym punkt jest środkiem przeciwprostokątnej , zaś jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka .
Oznaczmy , , oraz . Zauważmy, że porównując pole trójkąta mamy zależność , czyli . Dodatkowo . Stąd
Ponieważ , to mamy
(1)
To kończy dowód.
Zadanie 5. (0-2) W trójkącie ostrokątnym wiadomo,że , a . Oblicz .
♦ matura próbna ,,Nowa Era” – poziom rozszerzony, styczeń 2018.
Oznaczmy odpowiednie kąty trójkąta przez , i . Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych wskazanych kątów są wszystkie dodatnie. Stąd, jeżeli , to . Podobnie, skoro , to .
Mamy oczywiście , czyli
Podstawiając wyliczone wartości, otrzymujemy .
Zadanie 6. (0-3) W czworokącie dane są: , , . Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.
♦ matura próbna ,,Nowa Era” – poziom rozszerzony, styczeń 2018.
Dany czworokąt można wpisać okrąg (bo suma jego przeciwległych kątów wynosi ), przy czym przekątna jest średnicą tego okręgu.
Okrąg ten jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie , więc jego promień , z twierdzenia sinusów, spełnia równość
Stąd odpowiedź: .
Ta strona korzysta z ciasteczek aby świadczyć usługi na najwyższym poziomie. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie.ZgodaNie wyrażam zgody