Kategoria: Wielomiany i funkcje wymierne

Wielomiany i funkcje wymierne – przykłady z rozwiązaniami

Zadanie 1. (0-4)
Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W(x)=x^3+ax^2+bx+1 wiedząc, że W(2)=7 oraz, że reszta z dzielenia W(x) przez (x-3) jest równa 10.

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.


Zależność W(2)=7 natychmiast zamieniamy na równanie wiążące współczynniki a i b. Mamy

    \[W(2)=2^3+a\cdot 2^2+b\cdot 2+1\quad\Longrightarrow\quad 4a+2b+9=7.\]

Drugą informację podaną w zadaniu wykorzystamy w połączeniu z twierdzeniem Bezouta. Wynika z niego, że reszta z dzielenia dowolnego wielomianu W(x) przez (x-r) wynosi W(r). Zatem mamy W(3)=10 i tym samym

    \[W(3)=3^3+a\cdot 3^2+b\cdot 3+1\quad\Longrightarrow\quad 9a+3b+28=10.\]

Otrzymaliśmy układ równań na szukane współczynniki:

    \[\left\{\begin{array}{l}4a+2b=-2\\9a+3b=-18\end{array}\right..\]

Dzieląc pierwsze równanie przez 2, drugie przez 3 i odejmując je stronami uzyskamy zależność (2a+b)-(3a+b)=-1-(-6), czyli -a=5 i a=-5. Wtedy b=-2a-1=-2\cdot(-5)-1=9. Mamy więc odpowiedź: a=-5 oraz b=9.

 

Zadanie 2. (0-3)
Rozwiąż nierówność

    \[\frac{2x-1}{1-x}\leqslant \frac{2+2x}{5x}.\]

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2021.


Mamy do rozwiązania zwykłą nierówność w postaci wymiernej. Na początku koniecznie podajemy dziedzinę i nie mnożymy nierówności przez niewiadomą! To powoduje, że początkowe przekształcanie polega na przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę i obliczeniu różnicy. Mamy x\neq 1 oraz x\neq 0 i dalej

    \[\frac{2x-1}{1-x}-\frac{2+2x}{5x}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \frac{(2x-1)(5x)-(2+2x)(1-x)}{(1-x)(5x)}\leqslant 0.\]

Dokonujemy obliczeń w liczniku i mamy

    \[\frac{10x^2-5x-(2-2x+2x-2x^2)}{5x(1-x)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \frac{12x^2-5x-2}{5x(1-x)}\leqslant 0.\]

Otrzymaną w liczniku funkcję kwadratową rozkładamy na czynniki, w tym celu obliczamy wyróżnik \Delta i miejsca zerowe: \Delta=25-4\cdot 12\cdot (-2)=121, stąd x_1=\dfrac{5-11}{24}=-\dfrac{1}{4} oraz x_2=\dfrac{5+11}{24}=\dfrac{2}{3}. Ostatecznie mamy nierówność postaci

    \[\frac{12\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)}{5x(1-x)}\leqslant 0.\]

Standardowa metoda polega na rozwiązaniu nierówności wielomianowej – uzyskanej z zamiany ilorazu danych wyrażeń na ich iloczyn. Wynika to stąd, że porównujemy wynik odpowiedniego działania z zerem; w naszym przypadku pytamy o to, kiedy iloraz przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero; odpowiedź (w obrębie dziedziny) jest taka sama jak w przypadku iloczynu. Zatem formalnie rozwiązujemy nierówność

    \[x(1-x)\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)\leqslant 0.\]

Oczywiście stałe 5 i 12 możemy pominąć, bo one nie wpływają na znak danego wyrażenia. Rysunek poniżej przedstawia szkic odpowiedniego wykresu z zaznaczoną dziedziną x\neq 0 i x\neq 1.

Rendered by QuickLaTeX.com

Odpowiedź: x\in\left(-\infty,\,-\dfrac{1}{4}\right)\cup\left(0,\,\dfrac{2}{3}\right)\cup (1,\,\infty).

 

Zadanie 3. (0-3)
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x)=\dfrac{x^2+8}{x+1} w przedziale [0,\,3].

♦ matura próbna – poziom rozszerzony ,,Operon”, listopad 2019.


Dla wyznaczenia wartości największej i najmniejszej funkcji na danym przedziale, należy przeanalizować wartości tej funkcji w punktach, w których może pojawić się ekstremum lokalne oraz na końcach przedziału. W naszym przypadku funkcja f(x) posiada pochodną dla x\in[0,3] i mamy

    \[f'(x)=\frac{2x(x+1)-(x^2+8)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}.\]

Widać stąd, że f'(x)=0 tylko wtedy, gdy x^2+2x-8=0. Ponieważ \Delta=36, to punktami krytycznymi są x_1=\dfrac{-2-6}{2}=-4\not\in[0,3] oraz x_2=\dfrac{-2+6}{2}=2\in[0,3]. Sprawdzamy więc jedynie wartości f(2)=\dfrac{12}{3}=4, f(0)=8 i f(3)=\dfrac{17}{4}. Największą spośród nich jest f(0)=8, zaś najmniejsza to f(2)=4. To są szukane liczby.

 

Zadanie 4. (0-3)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

    \[x^4-4x^3-2x^2+12x+9\geqslant 0.\]

♦ matura próbna – poziom rozszerzony ,,Nowa Era”, styczeń 2018.


Przekształcimy dane wyrażenie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Mamy

(1)   \begin{eqnarray*} &{}& x^4-4x^3-2x^2+12x+9=\nonumber\\ &=&\left(x^4-4x^3+4x^2\right)-3\left(2x^2-4x\right)+9=\nonumber\\ &=& (x^2-2x)^2 -2\cdot (x^2-2x)\cdot 3+3^2=\nonumber\\ &=&(x^2-2x-3)^2.\nonumber \end{eqnarray*}

Widać teraz, że istotnie dane wyrażenie przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. To kończy dowód.