Ciągi – przykłady z rozwiązaniami

Zadanie 1. (0-5)
O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a + c = 10, zaś ciąg (a+1, b+4, c+19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.


Z warunku na ciąg arytmetyczny wiemy, że 2b=a+c, a ponieważ ta ostatnia suma wynosi 10, to 2b=10 i b=5. Przechodząc do warunku na ciąg geometryczny otrzymujemy

    \[(b+4)^2=(a+1)(c+19)\quad\Longrightarrow\quad (a+1)(c+19)=9^2=81.\]

Podstawmy c=10-a do tego równania. Wtedy

    \[(a+1)(10-a+19)=81\quad\Longleftrightarrow\quad -a^2+28a+29=81,\]

co po uporządkowaniu daje równość a^2-28a+52=0. Obliczamy wyróżnik \Delta=(-28)^2-4\cdot 1\cdot 52=576 i \Delta=24. Stąd a_1=\dfrac{28-24}{2}=2 oraz a_2=\dfrac{28+24}{2}=26. Wyniki te prowadzą odpowiednio do c_1=10-a_1=8 lub c_2=10-a_2=-16.

Ostatecznie uzyskujemy dwa możliwe rozwiązania: (a,b,c)=(2,5,8) albo (a,b,c)=(26,5,-16).

 

Zadanie 2. (0-3)
Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (a_n), jest obliczana według wzoru S_n=n^2+3n, n\in\mathbf{N}. Wyznacz a_n. Wykaż, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.


Formalnie suma n początkowych wyrazów dowolnego ciągu (a_n) to wartość 

    \[S_n=\underbrace{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}}_{=S_{n-1}}+a_n=S_{n-1}+a_n\]

dla n\geqslant 2 oraz S_1=a_1. Zatem mamy zależność a_n=S_n-S_{n-1} przy n\geqslant 2.

Po podstawieniu danych z zadania, otrzymujemy

    \[a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+3n-\left((n-1)^2+3(n-1)\right)=2n+2,\]

dla n\geqslant 2 oraz a_1=S_1=1^2+3\cdot 1=4. Widać więc, że wzór ogólny a_n=2n+2 działa dla wszystkich n\in\mathbf{N}.

Aby pokazać, że ciąg (a_n) jest arytmetyczny, wystarczy sprawdzić, że różnica jego sąsiednich wyrazów jest stała. Mamy

    \[a_{n+1}-a_n=2(n+1)+2-(2n+2)=2.\]

To kończy dowód i rozwiązanie zadania.

 

Zadanie 3. (0-4)
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.

♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.


Oznaczmy przez (b_n) dowolny ciąg geometryczny; załóżmy, że b_{10}=10 i niech q będzie ilorazem tego ciągu. Wtedy

    \[b_n=b_1\cdot q^{n-1}\]

dla n=1,2,3,\ldots. W szczególności mamy b_1\cdot q^9=10.

Zobaczmy jak inaczej można zapisać iloczyn dziewiętnastu kolejnych początkowych wyrazów naszego ciągu. Mamy

(1)   \begin{eqnarray*} b_1 b_2 b_3\ldots b_{19} &=& b_1\cdot (b_1 q)\cdot (b_1 q^2)\cdot (b_1 q^3)\cdot\ldots\cdot(b_1 q^{18})=\nonumber\\ &=& b_1^{19}\cdot q^{1+2+3+\ldots+18}.\nonumber \end{eqnarray*}

Sumę 1+2+3+\ldots+18 obliczamy albo bezpośrednio albo korzystając ze wzoru na sumę wyrazów w ciągu arytmetycznym. Otrzymujemy 1+2+3+\ldots+18=\dfrac{1+18}{2}\cdot 18=19\cdot 9. Ostatecznie więc mamy

    \[b_1 b_2 b_3\ldots b_{19} = b_1^{19}\cdot q^{9\cdot 19}=\left(b_1 q^{9}\right)^{19}=b_{10}^{19}=10^{19}.\]

 

Zadanie 4. (0-5)
Rozwiąż nierówność

    \[\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+\ldots\geqslant 2-x,\]

gdzie lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym zbieżnym. Podaj odpowiednie założenia.

♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.


Oczywiście musi być x\neq 3. Aby występujący w zadaniu szereg geometryczny był zbieżny, jego iloraz q=\dfrac{1}{x-3} musi spełniać nierówność |q|<1. Stąd

    \[\left|\frac{1}{x-3}\right|<1\quad \Leftrightarrow\quad |x-3|>1.\]

To oznacza, że x-3<-1 lub x-3>1, czyli mamy założenia: x\in(-\infty,2)\cup(4,\infty).

Suma zbieżnego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie a_1 i ilorazie q jest równa \dfrac{a_1}{1-q}, czyli dana nierówność przyjmuje postać

    \[\frac{\frac{1}{x-3}}{1-\frac{1}{x-3}}	\geqslant 2-x\quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{x-3-1}\geqslant 2-x.\]

To prowadzi do nierówności \dfrac{1-(2-x)(x-4)}{(x-4)}\geqslant 0, a stąd \dfrac{x^2-6x+9}{x-4}\geqslant 0 i tym samym (x-3)^2(x-4)\geqslant 0 (przy podanych wcześniej założeniach).

\begin{tikzpicture}[scale=1.3,yscale=1] \draw[thin,fill=red!20,red!20] (3,0) rectangle (4.8,0.3); \draw[thick,blue,domain=2.5:4.2, smooth, variable=\x,yscale=4] plot ({\x},{(\x-3)*(\x-3)*(\x-4)}); \draw (3,0)--(3,0.3)--(4.8,0.3); \draw[very thick,->] (1.5,0)--(5,0) node[below] {$m$}; \foreach \x/\w in {3/{3},4/{4}} {  \draw (\x,0)--(\x,-0.06) node[below] {$\w$};   \draw[fill=white] (\x,0) circle (2pt);} \draw[fill=black] (3,0) circle (2pt); \end{tikzpicture}

Zbiór wyznaczony przez ostatnią nierówność pokazuje rysunek powyżej, co w połączeniu z założeniami daje końcową odpowiedź: x\in(4,\,\infty).

 

Zadanie 5. (0-3)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem

    \[a_n=\frac{1}{\dfrac{1}{\log_2(n+1)}+\dfrac{1}{\log_3(n+1)}+\ldots+\dfrac{1}{\log_{2018}(n+1)}}\]

dla n\geqslant 1. Uzasadnij, że wzór ciągu (a_n) można zapisać w postaci a_n=\log_{2018!}(n+1) i oblicz wartość wyrażenia a_1+a_2+\ldots+a_{2017}.

♦ matura próbna ,,Nowa Era” – poziom rozszerzony, styczeń 2018.


Każdy z ułamków postaci \dfrac{1}{\log_k(n+1)} można odwrócić pisząc \log_{(n+1)} k dla k=2,3,\ldots,2018. Wówczas mianownik wyrażenia definiującego wyraz a_n jest sumą równą

    \[\log_{(n+1)}2+\log_{(n+1)}3+\ldots+\log_{(n+1)}2018=\log_{(n+1)}2018!\]

Tym samym

    \[a_n=\dfrac{1}{\log_{(n+1)}2018!}=\log_{2018!}(n+1),\]

co kończy rozwiązanie pierwszej części zadania.

Zauważmy teraz, że suma S=a_1+a_2+\ldots+a_{2017} wynosi

    \[S=\log_{2018!}2+\log_{2018!}3+\ldots+\log_{2018!} 2018=\log_{2018!}2018!=1.\]

 

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.