Geometria analityczna – przykłady z rozwiązaniami

Zadanie 1. (0-6)
Punkt A=(-2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y=x+1. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.


Jak niemal każde zadanie z geometrii najlepiej rozpocząć od wykonania w miarę dokładnego rysunku.

\begin{tikzpicture}[scale=0.6] \draw[black!30] (-9.5,-7.5) grid (8.5,9.5); \draw[ultra thick,->] (-9.5,0)--(8.5,0) node[below] {$x$}; \draw[very thick,->] (0,-7.5)--(0,9.5) node[left] {$y$}; \coordinate[label=above:$A$] (A) at (-2,5); \coordinate[label=below right:$C$] (C) at (-3,-2); \coordinate[label=below right:$B_1$] (B1) at (2,3); \coordinate[label=below right:$B_2$] (B2) at (-8,-7); \draw[blue] (-9,-8)--(8.5,9.5) node[below,sloped,near end] {$y=x+1$}; \draw[fill=black] (A) circle (0.09cm); \draw[fill=black] (C) circle (0.09cm); \draw[fill=black] (B1) circle (0.09cm); \draw[fill=black] (B2) circle (0.09cm); \draw[red,thick] (A)--(B1)--(C)--cycle; \draw[green!50!black,thick] (A)--(B2)--(C)--cycle; \end{tikzpicture}

Ponieważ punkty B i C leżą na prostej y=x+1, to możemy przyjąć, że B=(b,b+1) i C=(c,c+1) dla pewnych liczb b oraz c. Możemy obliczyć długość odcinka BC korzystając z informacji o polu naszego trójkąta. Istotnie, traktując bok BC jako podstawę, wysokość będzie odległością punktu A od danej prostej x-y+1=0. Ma ona wartość

    \[h=\frac{|-2-5+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.\]

Stąd \dfrac{1}{2}\cdot h\cdot |BC|=15, czyli |BC|=\dfrac{30}{3\sqrt{2}}=5\sqrt{2}.

Możemy teraz napisać

    \[25\cdot 2=|BC|^2=(b-c)^2+(b+1-c-1)^2=2(b-c)^2,\]

a stąd (b-c)^2=25. To daje nam dwie możliwości: b=5+c albo b=-5+c.

Pozostaje jeszcze sprawdzić, kiedy otrzymamy trójkąt równoramienny z równością |AC|=|BC|=5\sqrt{2}. Mamy

    \[|AC|=\sqrt{(c+2)^2+(c+1-5)^2}=\sqrt{2c^2-4c+20},\]

stąd 2c^2-4c+20=50 lub w wersji uproszczonej c^2-2c-15=0. Rozwiązując to równanie kwadratowe uzyskamy możliwe wartości c. \Delta=4-4\cdot 1\cdot (-15)=64, c_1=\dfrac{2-8}{2}=-3 lub c_2=\dfrac{2+8}{2}=5. Mamy więc C=(-3,-2) lub C=(5,6). Wtedy, zgodnie z wcześniejszymi obliczeniami B=(2,3) lub B=(-8,-7) albo odpowiednio B=(10,11) lub B=(0,1). Są zatem cztery trójkąty ABC, które spełniają warunki zadania ale tylko dwa możliwe położenia wierzchołka C.

 

Zadanie 2. (0-5)
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji f(x)=\dfrac{1}{x^2}. Przeprowadzono prostą równoległą do osi Ox, która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C=(3,-1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.

\begin{tikzpicture}[scale=1.2] \draw[black!30] (-3.5,-1.5) grid (4.8,3.8); \draw[ultra thick,->] (-3.5,0)--(5,0) node[below] {$x$}; \draw[very thick,->] (0,-1.5)--(0,4) node[left] {$y$}; \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4}   \draw (\x,0)--(\x,-0.05) node[below] {\bf \x };  \foreach \y in {-1,1,2,3}   \draw (0,\y)--(-0.05,\y) node[left] {\bf \y };  \draw[domain=-3.2:-0.5, smooth,thick, variable=\x] plot ({\x}, {1/(\x*\x)}); \draw[domain=0.5:4, smooth,thick, variable=\x] plot ({\x}, {1/(\x*\x)}); \end{tikzpicture}

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.


Zaznaczmy punkt C i poprowadźmy przykładową prostą o równaniu y=a (równoległą od osi Ox). Aby pojawiły się punkty przecięcia z podanym wykresem, musi być a>0. Wtedy współrzędne punktów A i B obliczymy rozwiązując równanie \dfrac{1}{x^2}=a, czyli x^2=\dfrac{1}{a}. Możemy więc przyjąć, że

    \[A=\left(-\sqrt{\frac{1}{a}},\,a\right),\quad B=\left(\sqrt{\frac{1}{a}},\,a\right).\]

\begin{tikzpicture}[scale=1.2] \draw[black!40] (-3.5,-1.5) grid (4.8,3.8); \draw[ultra thick,->] (-3.5,0)--(5,0) node[below] {$x$}; \draw[very thick,->] (0,-1.5)--(0,4) node[left] {$y$}; \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4}   \draw (\x,0)--(\x,-0.05) node[below] {\bf \x };  \foreach \y in {-1,1,2,3}   \draw (0,\y)--(-0.05,\y) node[left] {\bf \y };  \coordinate[label=below right:$C$] (C) at (3,-1); \draw[domain=-3.2:-0.5, smooth,thick, variable=\x] plot ({\x}, {1/(\x*\x)}); \draw[domain=0.5:4, smooth,thick, variable=\x] plot ({\x}, {1/(\x*\x)}); \draw[fill=black] (C) circle (0.07cm); \draw[blue] (-2.5,1.778)--(2.5,1.778) node[above] {$y=a$}; \coordinate[label=above right:$B$] (B) at (0.75,1.778); \draw[fill=blue] (B) circle (0.07cm); \coordinate[label=above left:$A$] (A) at (-0.75,1.778); \draw[fill=blue] (A) circle (0.07cm); \draw[red,thick] (A)--(B)--(C)--cycle; \end{tikzpicture}

Obliczmy teraz pole P trójkąta ABC traktując AB jako podstawę. Oczywiście |AB|=2\sqrt{\frac{1}{a}}, zaś odpowiednia wysokość w tym trójkącie jest odległością wierzchołka C od poprowadzonej prostej, wynosi więc h=a+1. Zatem

    \[P=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{\frac{1}{a}}\cdot(a+1)=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}.\]

Aby pokazać, że otrzymana wartość jest zawsze większą lub równa 2, dla dowolnego a>0, wystarczy zauważyć, że biorąc t=\sqrt{a} mamy

    \[P=t+\frac{1}{t}=\left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^2+2\geqslant 2.\]

To kończy rozwiązanie.

 

Zadanie 3. (0-6)
Zaznacz na płaszczyźnie zbiór

    \[F=\left\{(x,y)\colon x\in\mathbf{R}\wedge y\in\mathbf{R}\wedge \log_{\frac{1}{2}}\left(|x|-1\right)\geqslant -2\wedge |y|>0\right\}.\]

Napisz równania osi symetrii figury F.

♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2002.


Zaczniemy oczywiście od dziedziny. Musi być |x|-1>0, czyli x\in(-\infty,\,-1)\cup(1,\,\infty). Nierówność |y|>0 oznacza, że y\neq 0, zatem figura F nie zawiera żadnego punktu z osi Ox. Zajmijmy się teraz nierównością z logarytmem. Mamy

    \[\log_{\frac{1}{2}}\left(|x|-1\right)\geqslant -2=\log_{\frac{1}{2}} 4,\]

bo \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=4.

Opuszczamy logarytmy (pamiętając o zmianie znaku nierówności, bo podstawa logarytmu jest mniejsza od 1) i otrzymujemy |x|-1\leqslant 4, czyli |x|\leqslant 5, zatem x\in[-5,\,5]. Uwzględniając dziedzinę mamy

    \[F=\{(x,y)\colon x\in\mathbf{R}\wedge y\in\mathbf{R}\wedge x\in[-5,-1)\cup (1,5]\wedge y\neq 0\}.\]

Poniżej rysunek tej (nieograniczonej) figury.

\begin{tikzpicture}[scale=0.75] \draw[blue!15,fill=blue!15] (-5,3.4) rectangle (-1,-3.4); \draw[blue!15,fill=blue!15] (5,-3.4) rectangle (1,3.4); \draw[red,ultra thick] (-5,-3.4)--(-5,3.4) (5,-3.4)--(5,3.4); \draw[red,ultra thick,dashed] (-1,-3.4)--(-1,3.4) (1,-3.4)--(1,3.4); \draw[black!40] (-6.5,-3.5) grid (6.5,3.5); \draw[thick,->] (-6.5,0)--(6.5,0) node[below] {$x$}; \draw[thick,->] (0,-3.5)--(0,3.5) node[left] {$y$}; \foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}   \draw (\x,0)--(\x,-0.05) node[below] { \x };  \foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3}   \draw (0,\y)--(-0.05,\y) node[left] {\y };  \draw[dashed,ultra thick,red!80] (-5,0)--(-1,0) (1,0)--(5,0); \draw[fill=white] (-5,0) circle (3pt); \draw[fill=white] (5,0) circle (3pt); \end{tikzpicture}

Jedynymi osiami symetrii są oczywiście osie układu współrzędnych, czyli proste o równaniach y=0 oraz x=0. Nie ma innych, choćby ze względu na punkty (-5,0) oraz (5,0), które jako jedyne punkty z prostych pionowych x=\pm 5 nie należą do figury F.

 

Zadanie 4. (0-4)
W układzie współrzędnych są dane punkty: A=(-9,-2) oraz B=(4,2). Wyznacz współrzędne punktu C, leżącego na osi Oy, tak że kąt ACB jest kątem prostym.

♦ matura próbna – poziom rozszerzony, styczeń 2003.


Wykonajmy rysunek. Rozwiązanie najłatwiej oprzeć na spostrzeżeniu, że dla znalezionego punktu C trójkąt ABC będzie prostokątny z przeciwprostokątną AB. Wtedy jednak bok AB będzie średnicą dla okręgu opisanego na tym trójkącie. To sugeruje jak znaleźć wierzchołek C: jest to punkt wspólny osi Oy i okręgu, dla którego odcinek AB jest średnicą.

\begin{tikzpicture}[scale=0.3] \draw[black!30] (-10.5,-8.5) grid (5.5,9.5); \coordinate[label=below left:$A$] (A) at (-9,-2); \coordinate (O) at (-2.5,0); \coordinate[label=above right:$B$] (B) at (4,2); \coordinate[label=above right:$C_1$] (C1) at (0,6.3); \coordinate[label=below right:$C_2$] (C2) at (0,-6.3); \draw[blue] (-2.5,0) circle (6.8) (A)--(B); \draw[thick,->] (-10.5,0)--(5.5,0) node[below] {$x$}; \draw[thick,->] (0,-8.5)--(0,9.5) node[left] {$y$}; \draw[red] (A)--(C1)--(B) (A)--(C2)--(B); \foreach \p in {A,B,C1,C2,O}   \draw[fill=black] (\p) circle (4.5pt); \end{tikzpicture}

Ponieważ |AB|=\sqrt{(4-(-9))^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{185}, zaś środkiem odcinka AB jest punkt O=\left(\frac{4+(-9)}{2},\,\frac{2+(-2)}{2}\right)=\left(-\frac{5}{2},\,0\right), to równanie odpowiedniego okręgu ma postać

    \[\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+(y-0)^2=\left(\frac{\sqrt{185}}{2}\right)^2=\frac{185}{4}.\]

My oczywiście szukamy takiego punktu C tego okręgu, dla którego współrzędna odcięta wynosi zero, stąd

    \[y^2=\dfrac{185}{4}-\frac{25}{4},\]

czyli y^2=40 i y=-\sqrt{40} lub y=\sqrt{40}. Stąd odpowiedź: są dwa rozwiązania: C_1=(0,\,\sqrt{40}) lub C_2=(0,\,-\sqrt{40}).

 

Zadanie 5. (0-4)
Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie, którego boki zawierają się w prostych o równaniach x+6y-12=0, x+y-7=0 oraz x-4y+18=0.

♦ matura próbna ,,Operon” – poziom rozszerzony, listopad 2019.


Sytuację przedstawia rysunek. Najpierw należy wyznaczyć wierzchołki trójkąta o bokach leżących na podanych prostych. W tym celu tworzymy trzy układy równań z podanych równań prostych i rozwiązujemy je.

\begin{tikzpicture}[scale=1] \draw[black!40] (-7.4,-2.5) grid (7.8,6.8); \draw[ultra thick,->] (-7.5,0)--(8,0) node[below] {$x$}; \draw[ultra thick,->] (0,-2.5)--(0,7) node[left] {$y$}; \foreach \x in {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,}   \draw (\x,0)--(\x,-0.05) node[below] {\bf \x };  \foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6}   \draw (0,\y)--(-0.05,\y) node[left] {\bf \y };  \draw[domain=0.7:3.2, smooth,thick, blue,variable=\y] plot ({12-6*\y}, {\y}); \draw[domain=-0.9:6, smooth,blue,thick,variable=\y] plot ({7-\y}, {\y}); \draw[domain=2.7:6, smooth,thick, blue,variable=\y] plot ({4*\y-18}, {\y}); \coordinate[label=above:$A$] (A) at (2,5); \coordinate[label=above right:$B$] (B) at (6,1); \coordinate[label=below:$C$] (C) at (-6,3); \coordinate[label=left:$S$] (S) at (-0.6,-1.6); \coordinate[label=left:$M_1$] (M1) at (4,3); \coordinate[label=above left:$M_2$] (M2) at (-2,4); \draw[shift={(-0.6,-1.6)},red,thick] (0:7.09) arc (0:170:7.09); \foreach \w in {A,B,C,S,M1,M2}   \draw[fill=black] (\w) circle (1.7pt); \draw[domain=-1.5:6, smooth,thick,dashed,variable=\x] plot ({\x},{\x-1}); \draw[domain=-2.8:-0.2, smooth,thick,dashed,variable=\x] plot ({\x},{-4*\x-4}); \end{tikzpicture}

Oznaczając przez A,B,C wierzchołki trójkąta, ich współrzędne spełniają więc kolejno zależności

    \[\left\{\begin{array}{l}x+y-7=0\\x-4y+18=0\end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{l}x+y-7=0\\x+6y-12=0\end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{l}x-4y+18=0\\x+6y-12=0\end{array}\right..\]

Stąd A=(2,5), B=(6,1) i C=(-6,3).

Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych jego boków. Niech M_1 oznacza środek boku AB, zaś M_2 będzie środkiem boku AC. Wtedy oczywiście M_1=\left(\dfrac{2+6}{2},\,\dfrac{5+1}{2}\right)=(4,3) i podobnie M_2=(-2,4). Teraz znależy znaleźć równania prostych prostopadłych do odpowiednich boków i przechodzących przez wyznaczone punkty M_1 i M_2. Symetralna boku AB przechodzi przez M_1 i jej współczynnikiem kierunkowym jest liczba 1, czyli ma ona równanie y=x-1. Zaś symetralna boku AC przechodzi przez M_2 i ma współczynnik kierunkowy równy -4, ma więc postać y=-4x-4.

Środek S szukanego okręgu ma współrzędne spełniające układ równań

    \[S:\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\y=-4x-4\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad S=\left(-\frac{3}{5},\,-\frac{8}{5}\right).\]

Pozostaje jeszcze obliczenie promienia r okręgu. W tym celu wyznaczamy długość odcinka |AS|. Mamy

    \[r=|AS|=\sqrt{(2+\frac{3}{5})^2+(5+\frac{8}{5})^2}=\sqrt{\frac{13^2+33^2}{25}}=\frac{\sqrt{1258}}{5}.\]

Ostatecznie, równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC ma postać

    \[\left(x+\frac{3}{5}\right)^2+\left(y+\frac{8}{5}\right)^2=\frac{1258}{25}.\]

 

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.