Matura rozszerzona z matematyki (maj 2019) – rozwiązania

Poniżej prezentujemy rozwiązania wszystkich zadań maturalnych z matematyki dla poziomu rozszerzonego, z którymi abiturienci mierzyli się 9. maja 2019 r. Zadania pochodzą z arkusza opublikowanego w serwisie Centralnej Komisji Egzaminacyjnej.

Zadanie 1. (0-1)
Dla dowolnych liczb x>0, x\neq 1, y>0, y\neq 1 wartość wyrażenia \left(\log_{\frac{1}{x}}y\right)\cdot \left(\log_{\frac{1}{y}}x\right) jest równa
   A. x\cdot y
   B. \frac{1}{x\cdot y}
   C. -1
   D. 1


Z własności logarytmów, przy podanych założeniach mamy

(1)   \begin{eqnarray*} \left(\log_{\frac{1}{x}}y\right)\cdot \left(\log_{\frac{1}{y}}x\right)&=&\frac{1}{\log_y\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{\log_x\frac{1}{y}}=\nonumber\\[0.25cm] &=&\left(-\frac{1}{\log_yx}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\log_xy}\right)=\nonumber\\[0.25cm] &=&\frac{1}{\log_yx}\cdot\log_yx=1.\nonumber \end{eqnarray*}

Zatem poprawną jest odpowiedź D.



Zadanie 2. (0-1)
Liczba \cos^2105^\circ-\sin^2105^\circ jest równa jest równa
   A. -\frac{\sqrt{3}}{2}
   B. -\frac{1}{2}
   C. \frac{1}{2}
   D. \frac{\sqrt{3}}{2}


Ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu mamy

(2)   \begin{eqnarray*} \cos^2105^\circ-\sin^2105^\circ&=&\cos(2\cdot 105^\circ)=\cos 210^\circ=\nonumber\\ &=&\cos(30^\circ+180^\circ)=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\nonumber \end{eqnarray*}

Poprawną odpowiedzią jest A.



Zadanie 3. (0-1)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji y=f(x), który jest złożony z dwóch półprostych AD i CE oraz dwóch odcinków AB i BC, gdzie A=(-1,0), B=(1,2), C=(3,0), D=(-4,3), E=(6,3).

\begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw[black!70] (-5.1,-2) grid (7.1,6); \draw[very thick,->] (-5.1,0)--(7.1,0) node[below] {$x$}; \draw[very thick,->] (0,-2)--(0,6) node[right] {$y$}; \foreach \x in {-5,...,7}   \draw[thin] (\x,0.15)--(\x,-0.15) node[below,scale=0.8] {\bf \x}; \foreach \x in {-1,1,2,3,4,5}   \draw[thin] (0.15,\x)--(-0.15,\x) node[left,scale=0.8] {\bf \x}; \coordinate[label=above right:$D$] (D) at (-4,3); \coordinate[label=below left:$A$] (A) at (-1,0); \coordinate[label=above:$B$] (B) at (1,2); \coordinate[label=below right:$C$] (C) at (3,0); \coordinate[label=above left:$E$] (E) at (6,3); \draw[blue,very thick] (-5.1,4.1)--(A)--(B)--(C)--(7,4); \end{tikzpicture}

Wzór funkcji f to:
   A. f(x)=|x+1|+|x-1|
   B. f(x)=||x-1|-2|
   C. f(x)=||x-1|+2|
   D. f(x)=|x-1|+2


Z opisu wykresu funkcji f(x) wynika w szczególności, że f(0)=1. Podstawiając argument x=0 do podanych czterech propozycji odpowiedzi, widzimy, że kolejne wartości są równe: f_A(0)=2, f_B(0)=1, f_C(0)=3 oraz f_D(0)=3. Zatem poprawną odpowiedzią jest B.



Zadanie 4. (0-1)
Zdarzenia losowe A i B zawarte w \Omega są takie, że prawdopodobieństwo P(B') zdarzenia B', przeciwnego do zdarzenia B, jest równe \frac{1}{4}. Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B)=\frac{1}{5}. Wynika stąd, że
   A. P(A\cap B)=\frac{1}{20}
   B. P(A\cap B)=\frac{4}{15}
   C. P(A\cap B)=\frac{3}{20}
   D. P(A\cap B)=\frac{4}{5}


Mamy P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}, czyli

    \[P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=P(A|B)\cdot (1-P(B'))=\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{20}.\]

Odpowiedź C.



Zadanie 5. (0-2)
Obliczyć granicę

    \[\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1}-\frac{n^2}{3n^2+1}\right).\]

Wpisz w poniższe kratki – od lewej do prawej – trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

\begin{tikzpicture}[yscale=1.5,scale=0.8] \draw[very thick] (0,0) grid (3,1); \end{tikzpicture}


Wyłączając przed nawias, z liczników i mianowników obu ułamków, dominujący czynnik (czyli odpowiednio n^3 i n^2, otrzymamy

(3)   \begin{eqnarray*} &{}&\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1}-\frac{n^2}{3n^2+1}\right)=\nonumber\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^3\big(9+\frac{11}{n}\big)}{n^3\big(7+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}\big)}-\frac{n^2}{n^2\big(3+\frac{1}{n^2}\big)}\right)=\nonumber\\ &=&\frac{9}{7}-\frac{1}{3}=\frac{27}{21}-\frac{7}{21}=\frac{20}{21}\approx 0,\!95238095\ldots\nonumber \end{eqnarray*}

To oznacza, że w kratki należało wpisać cyfry 9, 5 i 2.



Zadanie 6. (0-3)
Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1, 3, 5, 7, 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.


Wszystkich permutacji pięciu podanych cyfry jest 5!=120. Każda z nich odpowiada jednemu składnikowi sumy, którą mamy obliczyć. W dokładnie 4!=\frac{5!}{5}=24 różnych składnikach cyfra 1 będzie stanowiła cyfrę jedności; w tylu samo składnikach cyfrą jedności będzie 3 itd. dla każdej z ustalonych pięciu cyfr. Podobnie sytuacja wygląda dla kolejnych rzędów (tzn. dla cyfr dziesiątek, setek, itd.) Ponieważ wkład tych cyfr do szukanej sumy S wynosi

    \[24\cdot(1+3+5+7+9)=24\cdot 25=600\]

dla każdego dostępnego rzędu wielkości, więc

    \[S=600\cdot (1+10+100+1000+10000)=600\cdot 11111=6666600.\]



Zadanie 7. (0-2)
Punkt P=(10,2429) leży na paraboli o równaniu y=2x^2+x+2219 Prosta o równaniu kierunkowym y=ax+b jest styczna do tej paraboli w punkcie P. Oblicz współczynnik b.


Niech f(x)=2x^2+x+2219 będzie daną funkcją kwadratową. Współczynnik a prostej stycznej jest wartością pochodnej funkcji f(x) dla argumentu x=10 (zgodnego ze współrzędną odciętą punktu P). Mamy f'(x)=4x+1, stąd a=f'(10)=4\cdot 10+1=41. Styczna przechodzi przez punkt P, więc 2429=41\cdot 10+b, a stąd b=2429-410=2019.



Zadanie 8. (0-3)
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich że x<y, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a, prawdziwa jest nierówność \dfrac{x+a}{y+a}+\dfrac{y}{x}>2.


Zauważmy, że dla y>x i a>0 prawdziwa jest nierówność

    \[(x-y)^2+a(y-x)>0.\]

Wynika z niej, że x(x+a)+y(y+a)>2xy+2ax. Dzieląc ostatnią nierówność obustronnie przez liczbę dodatnią x(y+a) otrzymamy

    \[\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2,\]

to kończy dowód.



Zadanie 9. (0-3)
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M\neq A i M\neq C), a na ramieniu BC wybrano punkt N, w taki sposób, że |AM|=|CN|. Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T. Udowodnij, że |ST|=\frac{1}{2}|AB|.


\begin{tikzpicture} \coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below right:$B$] (B) at (7,0); \coordinate[label=above:$C$] (C) at (3.5,6); \coordinate[label=above left:$M$] (M) at ($(A)!0.3!(C)$); \coordinate[label=above right:$N$] (N) at ($(C)!0.3!(B)$); \coordinate[label=below:$S$] (S) at ($(A)!(M)!(B)$); \coordinate[label=below:$T$] (T) at ($(A)!(N)!(B)$); \coordinate[label=below:$P$] (P) at (3.5,0); \coordinate[label=left:$K$] (K) at ($(C)!(N)!(P)$);  \draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle (S)--(M) (T)--(N); \draw[thick,blue] (C)--(P); \draw[very thick, red] (A)--(S) (P)--(T) (N)--(K); \foreach \p in {A,B,C,M,N,S,T,P,K}    \draw[fill=black!70] (\p) circle (0.03cm); \end{tikzpicture}

Sytuacja wygląda jak na rysunku. Poprowadźmy odcinek CP, będący wysokością trójkąta ABC wychodzącą z wierzchołka C oraz odcinek NK, gdzie K jest rzutem prostokątnym punktu N na wysokość CP. Wówczas odcinki NK i AB są równoległe (bo są prostopadłe do wspólnej wysokości CP). Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, to z równoległości tej mamy równości kątów: \angle BAC=\angle CNK oraz \angle AMS=\angle KCN (wysokość poprowadzona na podstawę w trójkącie równoramiennym jest jednocześnie dwusieczną kąta). Z treści zadania mamy jeszcze |AM|=|CN|, zatem trójkąty \triangle\, AMS i \triangle\, NCK są przystające (cecha kąt-bok-kąt). W szczególności mamy |AS|=|KN|=|PT|. To już oznacza, że

    \[\frac{1}{2}|AB|=|AP|=|AS|+|SP|=|PT|+|SP|=|ST|,\]

a to kończy dowód. 



Zadanie 10. (0-4)
Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC oraz |AC|=16, |AD|=6, |CD|=14, |BC|=|BD|. Oblicz obwód trójkąta ABC.


\begin{tikzpicture} \coordinate[label=below left:$A$] (A) at (180:7); \coordinate[label=below right:$B$] (B) at (0,0); \coordinate[label=above:$C$] (C) at (130:5); \coordinate[label=below:$D$] (D) at (180:5);  \draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle (C)--(D); \draw[thin] (C)--(D) node[midway,right] {$14$}; \draw[thin] (C)--(A) node[midway,left] {$16$}; \draw[thin] (C)--(B) node[midway,right] {$x$}; \draw[thin] (B)--(D) node[midway,below] {$x$}; \draw[thin] (A)--(D) node[midway,below] {$6$}; \foreach \p in {A,B,C,D}    \draw[fill=black!70] (\p) circle (0.03cm); \end{tikzpicture}

Niech x=|BC|=|BD|. Wykorzystamy dwukrotnie twierdzenie kosinusów. Najpierw dla trójkąta ADC, aby wyznaczyć kosinus kąta \beta=\angle ADC. Mamy 16^2=6^2+14^2-2\cdot 6\cdot 14\cos\beta, czyli

    \[\cos\beta=\frac{36+196-256}{12\cdot 14}=-\frac{1}{7}.\]

Zatem \cos\angle CDB=\cos(180^\circ-\beta)=-\cos\beta=\frac{1}{7}. Stąd – stosując drugi raz twierdzenie kosinusów – w trójkącie równoramiennym BCD mamy

    \[x^2=14^2+x^2-2\cdot 14x\cos\angle CDB,\]

czyli 2\cdot 14x\cdot\frac{1}{7}=196, a zatem x=49. To oznacza, że szukany obwód trójkąta ABC wynosi |AB|+|BC|+|CA|=(6+49)+49+16=120.



Zadanie 11. (0-6)
Dane są okręgi o równaniach x^2+y^2-12x-8y+43=0 i x^2+y^2-2ax+4y+a^2-77=0. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.


Dane równania można przekształcić do postaci (x-6)^2+(y-4)^2=3^2 oraz (x-a)^2+(y+2)^2=9^2. To oznacza, że pierwszy okrąg — oznaczmy go przez \omega_1, ma środek w punkcie O_1=(6,4) i promieniu r_1=3. Drugi okrąg zaś – nazwijmy go \omega_2 – ma środek w punkcie O_2=(a,-2) i promień r_2=9.

\begin{tikzpicture}[scale=0.4] \draw[black!70] (-6,-12) grid (17,9); \draw[very thick,->] (-6,0)--(17,0) node[below] {$x$}; \draw[very thick,->] (0,-12)--(0,9) node[left] {$y$}; \foreach \x in {-2,2,4,...,12,14}   \draw[thin] (\x,0.25)--(\x,-0.25) node[below,scale=0.7] {\bf \x}; \foreach \x in {-10,-8,...,-2,2,4}   \draw[thin] (0.25,\x)--(-0.25,\x) node[left,scale=0.7] {\bf \x}; \draw[blue,thick] (6,4) circle (3cm); \draw[dashed,red,very thick] (-5.5,-2)--(16.5,-2); \draw[red,thick] (6,-2) circle (9cm); \draw[very thick, green!80!black,shift={(-4.39,-2)}] (-60:9) arc (-60:90:9); \draw[very thick, green!80!black,shift={(16.39,-2)}] (95:9) arc (95:195:9); \draw[fill=black!70,thick] (-4.39,-2) circle (0.1cm) node[below,scale=0.9] {$a=6-6\sqrt{3}$}; \draw[fill=black!70,thick] (16.39,-2) circle (0.1cm) node[below,scale=0.9] {$a=6+6\sqrt{3}$}; \draw[fill=black!70,thick] (6,-2) circle (0.1cm) node[below,scale=0.9] {$a=6$}; \draw[fill=black!70,thick] (6,4) circle (0.1cm) node[right,scale=0.8] {$(6,4)$}; \end{tikzpicture}

Dane okręgi mogą być styczne zewnętrznie lub wewnętrznie. Ponieważ środki okręgu \omega_2 leżą na prostej y=-2, to styczność wewnętrzna może się zdarzyć jedynie dla a=4 – wówczas bowiem środki obu okręgów będą możliwie najbliżej siebie i |O_1O_2|=6=r_2-r_1.

Obliczymy teraz te wartości a, dla których okręgi są styczne zewnętrznie. Musi być wtedy spełniony warunek |O_1O_2|=r_1+r_2, czyli

    \[\sqrt{(6-a)^2+(4-(-2))^2}=12\qquad\Longleftrightarrow\qquad (6-a)^2=108.\]

Stąd a=6\sqrt{3}+6 lub a=-6\sqrt{3}+6. Ostatecznie mamy więc trzy możliwe rozwiązania: a=6, a=6-6\sqrt{3} i a=6+6\sqrt{3}.



Zadanie 12. (0-6)
Trzywyrazowy ciąg (a,b,c) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg \left(\dfrac{1}{a},\dfrac{2}{3b},\,\dfrac{1}{2a+2b+c}\right) jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.


Z warunku na ciąg arytmetyczny mamy 2b=a+c, natomiast z warunku na ciąg geometryczny jest \left(\dfrac{2}{3b}\right)^2=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{2a+2b+c}. Wyznaczając b z pierwszej zależności i wstawiając do drugiej, otrzymujemy

    \[\left(\frac{2}{3\cdot\frac{a+c}{2}}\right)^2=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{2a+a+c+c}.\]

Porządkując wyrazy, mamy \frac{16}{9(a+c)^2}=\frac{1}{a(3a+2c)}, czyli 9(a+c)^2=16a(3a+2c). Podstawiając zmienną pomocniczą t=\frac{a}{c}, po obustronnym podzieleniu ostatniego równania przez c^2, dostaniemy

    \[9(t+1)^2=16t(3t+2)\quad\Leftrightarrow\quad $39t^2+14t-9=0.\]

Obliczamy wyróżnik \Delta=14^2+4\cdot 39\cdot 9=1600, więc t_1=\frac{-14-40}{78}<0 oraz t_2=\frac{-14+40}{78}=\frac{1}{3}. Pierwsze rozwiązanie odrzucamy, bo t=\frac{a}{c}>0 dla a,c>0.

Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego. Wynosi on

    \[q=\frac{2}{3b}:\frac{1}{a}=\frac{2a}{3b}=\frac{4a}{3(a+c)}=\frac{4t}{3(t+1)}=\frac{4/3}{1+3}=\frac{1}{3}.\]



Zadanie 13. (0-6)
Wielomian określony wzorem W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2-11x-2(2m+1) jest podzielny przez dwumian (x-2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x+1) daje resztę 6. Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W(x)\leqslant 0.


Na podstawie twierdzenia Bézouta mamy W(2)=0 oraz W(-1)=6. Stąd 2\cdot 2^3+(m^3+2)\cdot 2^2-11\cdot 2-2(2m+1)=0, czyli 4m^3-4m=0. To prowadzi do 4m(m-1)(m+1)=0, więc m\in\{-1,\,0,\,1\}. Wystarcz teraz zobaczyć, która z tych trzech możliwości spełnia drugi warunek: W(-1)=6. Ponieważ W(-1)=m^3-4m+9, to widzimy, że musi być m=1.

Interesuje nas więc wielomian W(x)=2x^3+3x^2-11x-6. Wykorzystując ponownie informację o pierwiastku W(2)=0, po wykonaniu dzielenia W(x):(x-2) otrzymujemy zależność

    \[W(x)=(x-2)(2x^2+7x+3).\]

Możemy obliczyć pierwiastki drugiego czynnika: \Delta=49-24=25, czyli x_1=\frac{-7-5}{4}=-3 oraz x_2=\frac{-7+5}{4}=-\frac{1}{2}. Zatem

    \[W(x)=(x-2)(x+3)(2x+1).\]

\begin{tikzpicture}[yscale=0.15]       \draw[thick,->] (-5,0) -- (4,0) node[above right] {$x$};       \draw[domain=-3.2:2.3,smooth,variable=\x,blue,thick] plot ({\x},{2*\x*\x*\x+3*\x*\x-11*\x-6});       \foreach \x/\w in {-3/-3,-0.5/{-\frac{1}{2}},2/2}          \node[below] at (\x,0) {$\w$};     \end{tikzpicture}

Z pomocniczego wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności W(x)\leqslant 0. Tworzy je suma przedziałów (-\infty,\,-3]\cup \left[-\frac{1}{2},2\right].



Zadanie 14. (0-4)
Rozwiąż równanie (\cos x)\left[\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\right]=\dfrac{1}{2}\sin x.


Wykorzystamy wzór na sinus sumy argumentów: \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y. Stąd mamy

(4)   \begin{eqnarray*} &{}&\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\nonumber\\[0.25cm] &=&\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}+\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}=\sin x. \end{eqnarray*}

Równanie przyjmuje więc postać 2\cos x\sin x=\sin x, czyli \sin x(2\cos x-1)=0. To prowadzi do alternatywy: \sin x=0 lub \cos x=\frac{1}{2}. Stąd odpowiedź

    \[x=k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\]

gdzie k jest liczbą całkowitą.



Zadanie 15. (0-7)
Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości V=2. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.


Niech x>0 będzie długością krawędzi podstawy, zaś h>0 wysokością (i jednocześnie długością krawędzi bocznej) w rozważanych graniastosłupach. Mamy V=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2h=2, a stąd h=\frac{8}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{x^2}.

Niech S=f(x) będzie polem powierzchni całkowitej naszego graniastosłupa. Wówczas na S składają się pola dwóch podstaw (trójkątów równobocznych o krawędzi x) oraz pola trzech ścian bocznych (prostokątów x\times h). Stąd, wykorzystując zależność na V, mamy

    \[f(x)=S=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3xh=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{8\sqrt{3}}{x}.\]

Naszym celem jest wyznaczenie minimum funkcji f(x) dla x>0. Można wykorzystać rachunek różniczkowy, lub posłużyć się nierównością pomiędzy średnią geometryczną i średnią arytmetyczną dla trzech liczb dodatnich: \sqrt[3]{abc}\leqslant\dfrac{a+b+c}{3} dla dowolnych a,b,c>0; równość zachodzi jedynie dla a=b=c.

Przyjmijmy w powyższej nierówności a=b=\frac{8}{x} oraz c=x^2. Wtedy 4=\sqrt[3]{\frac{8}{x}\cdot\frac{8}{x}\cdot x^2}\leqslant \frac{\frac{8}{x}+\frac{8}{x}+x^2}{3}, czyli

    \[x^2+\frac{16}{x}\geqslant 12\]

i równość zachodzi wyłącznie dla x^2=\frac{8}{x}, a więc dla x^3=8, skąd x=2.

Zauważmy, że nierówność powyższa pozwala nam napisać

(5)   \begin{eqnarray*} f(x)&=&\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{8\sqrt{3}}{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x^2+\frac{16}{x}\right)\geqslant\nonumber\\[0.25cm] &\geqslant&\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 12=6\sqrt{3}.\nonumber \end{eqnarray*}

Oznacza to, że szukany graniastosłup ma krawędzie długości x=2, h=\frac{8}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}, a jego objętość wynosi 6\sqrt{3}.



Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.