Wielomiany i funkcje wymierne – przykłady z rozwiązaniami
Zadanie 1. (0-4) Wyznacz wartości i współczynników wielomianu wiedząc, że oraz, że reszta z dzielenia przez jest równa 10.
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2010.
Zależność natychmiast zamieniamy na równanie wiążące współczynniki i . Mamy
Drugą informację podaną w zadaniu wykorzystamy w połączeniu z twierdzeniem Bezouta. Wynika z niego, że reszta z dzielenia dowolnego wielomianu przez wynosi . Zatem mamy i tym samym
Otrzymaliśmy układ równań na szukane współczynniki:
Dzieląc pierwsze równanie przez 2, drugie przez 3 i odejmując je stronami uzyskamy zależność , czyli i . Wtedy . Mamy więc odpowiedź: oraz .
Zadanie 2. (0-3) Rozwiąż nierówność
♦ matura – poziom rozszerzony, maj 2021.
Mamy do rozwiązania zwykłą nierówność w postaci wymiernej. Na początku koniecznie podajemy dziedzinę i nie mnożymy nierówności przez niewiadomą! To powoduje, że początkowe przekształcanie polega na przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę i obliczeniu różnicy. Mamy oraz i dalej
Dokonujemy obliczeń w liczniku i mamy
Otrzymaną w liczniku funkcję kwadratową rozkładamy na czynniki, w tym celu obliczamy wyróżnik i miejsca zerowe: , stąd oraz . Ostatecznie mamy nierówność postaci
Standardowa metoda polega na rozwiązaniu nierówności wielomianowej – uzyskanej z zamiany ilorazu danych wyrażeń na ich iloczyn. Wynika to stąd, że porównujemy wynik odpowiedniego działania z zerem; w naszym przypadku pytamy o to, kiedy iloraz przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero; odpowiedź (w obrębie dziedziny) jest taka sama jak w przypadku iloczynu. Zatem formalnie rozwiązujemy nierówność
Oczywiście stałe 5 i 12 możemy pominąć, bo one nie wpływają na znak danego wyrażenia. Rysunek poniżej przedstawia szkic odpowiedniego wykresu z zaznaczoną dziedziną i .
Odpowiedź: .
Zadanie 3. (0-3) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale .
♦ matura próbna – poziom rozszerzony ,,Operon”, listopad 2019.
Dla wyznaczenia wartości największej i najmniejszej funkcji na danym przedziale, należy przeanalizować wartości tej funkcji w punktach, w których może pojawić się ekstremum lokalne oraz na końcach przedziału. W naszym przypadku funkcja posiada pochodną dla i mamy
Widać stąd, że tylko wtedy, gdy . Ponieważ , to punktami krytycznymi są oraz . Sprawdzamy więc jedynie wartości , i . Największą spośród nich jest zaś najmniejsza to . To są szukane liczby.
Zadanie 4. (0-3) Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
♦ matura próbna – poziom rozszerzony ,,Nowa Era”, styczeń 2018.
Przekształcimy dane wyrażenie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Mamy
(1)
Widać teraz, że istotnie dane wyrażenie przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. To kończy dowód.