Matura rozszerzona z matematykiMatematyczne nietuzinki ;)

Treści zadań pochodzą z czasopisma Matematyka nr 5/1988.

Zadanie 1.
Współczynniki $a$ , $b$ , $c$ równania $ax^2+bx+c=0$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a ich suma wynosi $24$ . Jednym z pierwiastków równania jest liczba $x_1=-3$ . Wyznaczyć drug pierwiastek tego równania.

$x_2=-5$ .

Zadanie 2.
Dla jakich wartości parametru $m$ równanie

$x^2-(2m-1)x+m^2-4=0$

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, oba mniejsze od $4$ ?

$m\in(-\infty,-4)\cup(-4,\frac{17}{4})$ .

Zadanie 3.
Dla jakiego parametru $p$ równanie

$(3p+2)x^2+(p-1)x+4p+3=0$

jest równaniem kwadratowym, mającym pierwiastki $x_1$ i $x_2$ spełniające warunek $x_1<-1<x_2<1$ ?

$p\in(-1,-\frac{2}{3})$ .

Zadanie 4.
Dane jest równanie

$(2\sin\alpha-1)x^2-2x+\sin\alpha=0,\qquad\text{gdzie}\,\,\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$

Dla jakich wartości parametru $\alpha$ : a) równanie ma pierwiastki rzeczywiste? b) suma odwrotności pierwiastków jest równa $4\cos \alpha$ ?

a) $\alpha\in\left[-\frac{\pi}{6},\,\frac{\pi}{2}\right]$ i $\alpha\neq\frac{\pi}{6}$ .
b) $\alpha = \frac{\pi}{4}$ .

Zadanie 5.
Dla jakich wartości parametru $\alpha$ z przedziału $[0,\pi]$ równanie o niewiadomej $x$

$(2\cos^2\alpha-1)x^2-2x\cos\alpha+1=0$

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right)\cup \left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)$ .

Zadania maturalne z matematyki – profil matematyczno-fizyczny (maj 1988)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi